Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

1. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

Теория

Речь пойдёт о формулах, которые позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

Преобразуем сумму синусов

\sin (s + t) + \sin (s - t)

, используя формулы синуса суммы и синуса разности:

(\sin s \cdot \cos t + \cos s \cdot \sin t) + (\sin s \cdot \cos t - \cos s \cdot \sin t) = 2 \sin s \cdot \cos t

То есть

\sin (s + t) + \sin (s - t) = 2 \sin s \cdot \cos t

Обозначим:

x = s + t, y = s - t

Сумма

x + y = 2 s

, то есть

s = \frac{x + y}{2}

Из

x = s + t

вычтем

y = s - t

, будет

x - y = 2 t

то есть

t = \frac{x - y}{2}

В равенстве

\sin (s + t) + \sin (s - t) = 2 \sin s \cdot \cos t

сделаем замену \(s+t\) на \(x\), \(s-t\) на \(y\), \(s\) на

\frac{x + y}{2}

, \(t\) на

\frac{x - y}{2}

Тогда равенство

\sin (s + t) + \sin (s - t) = 2 \sin s \cdot \cos t

можно записать

\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

Пример:

\sin 6 x + \sin 4 x = 2 \sin \frac{6 x + 4 x}{2} \cos \frac{6 x - 4 x}{2} = 2 \sin 5 x \cdot \cos x

Итак,

\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2}

Рассмотрим выражение \(cos (s+t)+cos (s-t)\). Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:

(\cos s \cdot \cos t - \sin s \cdot \sin t) + (\cos s \cdot \cos t + \sin s \cdot \sin t) = 2 \cos s \cdot \cos t

Итак,

\cos (s + t) + \cos (s - t) = 2 \cos s \cdot \cos t

Введём обозначения:

x = s + t, y = s - t

получим (как при выводе формулы

\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}

Итак,

\cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}