Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду C sin (x + t)

1. Преобразование выражения A sin x + B cos x к виду C sin (x + t)

Теория

При изучении колебаний и в других случаях необходимо выражения вида

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x

свести к одной тригонометрической функции, например, к виду

C \cdot \sin (x + t)

Пусть дано выражение

\sin x + \sqrt{3} \cos x

. Вынесем \(2\) за скобки:

2 \cdot (\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x)

. Заметим, что

\frac{1}{2} = \cos \frac{π}{3}, \frac{\sqrt{3}}{2} = \sin \frac{π}{3}

. Выполним замену и применим формулу «синус суммы» для аргументов \(x\) и

\frac{π}{3}

Итак,

2 \cdot (\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) = 2 \cdot (\cos \frac{π}{3} \sin x + \sin \frac{π}{3} \cos x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3})

Получили, что

\sin x + \sqrt{3} \cos x = 2 \sin (x + \frac{π}{3})

При каком условии выражение вида

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x

можно преобразовать к виду

C \cdot \sin (x + t)

В нашем примере

A = 1, B = \sqrt{3}

, \(C=2\),

t = \frac{π}{3}

Обрати внимание!

Что

C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}

. В самом деле

A^{2} + B^{2} = {(\sqrt{3})}^{2} + 1^{2} = 4 = 2^{2} = C^{2}

На самом деле подобным образом преобразовывают любое выражение вида

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x

Сделаем замену:

C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}

. Учитываем, что

{(\frac{A}{C})}^{2} + {(\frac{B}{C})}^{2} = 1

Действительно,

{(\frac{A}{C})}^{2} + {(\frac{B}{C})}^{2} = \frac{A^{2}}{C^{2}} + \frac{B^{2}}{C^{2}} = \frac{A^{2} + B^{2}}{C^{2}} = \frac{C^{2}}{C^{2}} = 1

Следовательно, пара чисел

\frac{A}{C}

\frac{B}{C}

удовлетворяет уравнению

x^{2} + y^{2} = 1

, т. е. точка, которая имеет координаты

(\frac{A}{C}; \frac{B}{C})

лежит на единичной окружности. Таким образом,

\frac{A}{C}

— косинус,

\frac{B}{C}

— синус некоторого аргумента \(t\), т. е.

\frac{A}{C} = \cos t, \frac{B}{C} = \sin t

Принимая во внимание вышеперечисленные выкладки, преобразуем выражение

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x = C \cdot (\frac{A}{C} \sin x + \frac{B}{C} \cos x) = C (\cos t \cdot \sin x + \sin t \cdot \cos x) = C \cdot \sin (x + t)

Итак,

A \cdot \sin x + B \cdot \cos x = C \cdot \sin (x + t)

, где

C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}

Обычно аргумент \(t\) называют вспомогательным аргументом.