Свойства числовых последовательностей

3. Свойства числовых последовательностей

Теория

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, поэтому некоторые свойства функций можно перенести и на последовательности.

Последовательность называется возрастающей, если для любого

n \in N

выполняется неравенство

a_{n} < a_{n + 1}

Последовательность называется убывающей, если для любого

n \in N

выполняется неравенство

a_{n} > a_{n + 1}

Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

Пример:

1. Последовательность, заданная формулой

a_{n} = \frac{n}{n + 1}

, является монотонной, возрастающей, т. к. разница

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{(n + 1) \cdot (n + 2)} > 0

, то есть

a_{n} < a_{n + 1}

2. Последовательность с общим членом

a_{n} = 1 + {(- 1)}^{n}

не является монотонной, т. к.

a_{1} < a_{2}, a_{2} > a_{3}

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число

M \in R

, что

a_{n} \leq M

. При этом число

M

называется верхней границей последовательности.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число

m \in R

, что

a_{n} \geq m

. Число

m

называется нижней границей последовательности.

Пример:

1. Последовательность, заданная формулой

a_{n} = n (1, 2, 3 ... n ...)

, ограничена снизу, но не ограничена сверху.

2. Последовательность, заданная формулой

a_{n} = {(- 1)}^{n} n; (- 1, 2, - 3, 4 ... {(- 1)}^{n} n ...)

, не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.