Определение числовой последовательности и способы её задания

Функцию

y = f (x), x \in N

, называют функцией натурального аргумента, или числовой последовательностью, и обозначают:

y = f (n)

, или

y_{1}, y_{2} ... y_{n} ...

, или

y (n)

Способы задания последовательности

1. Словесное описание (формула не указана, словами объясняется, какие члены входят в последовательность).

Пример:

последовательность чётных чисел:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22 ...

2. Аналитическая запись (с помощью формулы

n

-го члена последовательности).

Пример:

y_{n} = n^{2} + 1

;

последовательность

2, 5, 10, 17 ... n^{2} ...

Шаги решения:

n = 1, 2, 3 ...

\begin{array}{l} y_{1} = 1^{2} + 1 = 2; \\ y_{2} = 2^{2} + 1 = 5; \\ y_{3} = 3^{2} + 1 = 10; \\ y_{4} = 4^{2} + 1 = 17; \\ y_{5} = ... \end{array}

y_{n} = 5 (y_{n} = C)

;

последовательность

5, 5, 5 ... 5 ... (C, C, C ... C ...)

Шаги решения:

y_{1} = 5; y_{2} = 5; y_{3} = 5; y_{4 = ...}

Последовательность

y_{n} = C

называют постоянной, или стационарной;

3. Рекуррентная формула (когда

n

-й член последовательности находится по предыдущим членам).

Арифметическая прогрессия —

(a_{n})

— может быть задана рекуррентно:

a_{1} = a, a_{n + 1} = a_{n} + d

В последовательности Фибоначчи каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел:

\begin{array}{l} a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1} \\ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ... \end{array}

4. Графически (график последовательности состоит из точек с абсциссами

1, 2, 3, 4 ...

Источники:

2. Определение числовой последовательности и способы её задания