Вычисление пределов последовательностей

Понятие предела числовой последовательности

3. Вычисление пределов последовательностей

Теория

Нахождение пределов некоторых видов

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ;

2. $\lim_{n \to \infty} q^{n} = 0, |q| < 1$ ;

3. $\lim_{n \to \infty} C = C$ , т. е. предел последовательности, каждый член которой равен постоянному числу, равен этому числу.

4. Если $\lim_{n \to \infty} x_{n} = b$ , $\lim_{n \to \infty} y_{n} = c$ , то

4.1. предел суммы равен сумме пределов:

$\lim_{n \to \infty} (x_{n} + y_{n}) = b + c$ ;

4.2. предел произведения равен произведению пределов:

$\lim_{n \to \infty} (x_{n} \cdot y_{n}) = b \cdot c$ ;

4.3. предел частного равен частному пределов:

$\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{b}{c}$ , если $c \neq 0$ ;

4.4. постоянный множитель можно вынести за знак предела:

$\lim_{n \to \infty} k x_{n} = kb$ .

5. Для любого натурального показателя $m$ и любого коэффициента $k$ справедливо соотношение $\lim_{n \to \infty} \frac{k}{n^{m}} = 0$ .

Пример:

1. Найти предел последовательности:

$x_{n} = \frac{2}{n} - \frac{5}{n^{2}} + 3$ .

Используем правило «предел суммы»:

$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{n} - \frac{5}{n^{2}} + 3) = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} - \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n^{2}} + \lim_{n \to \infty} 3 = 0 - 0 + 3 = 3 \underset{}{}$ .

2. Вычислить $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} + 3}{n^{2} + 4}$ .

Для таких заданий удобно использовать следующий приём: почленно разделить числитель и знаменатель дроби на максимальную степень переменной $n$ . В нашем случае разделим на $n^{2}$ :

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n^{2}}{n^{2}} + \frac{3}{n^{2}}}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{4}{n^{2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{n^{2}}}{1 + \frac{4}{n^{2}}} =$

— после используем правило «предел частного»:

$= \frac{2 + 0}{1 + 0} = \frac{2}{1} = 2$ .

Итак: $\lim_{n \to \infty} \frac{2 n^{2} + 3}{n^{2} + 4} = 2$ .

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание