Теория:
Свойство \(1\). Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Свойство \(2\). Сходящаяся последовательность ограничена.
Свойство \(3\). (Теорема Вейерштрасса)
Монотонная и ограниченная последовательность сходится.
Применим теорему Вейерштрасса для доказательства формулы площади круга .
В окружность будем вписывать правильные многоугольники, каждый раз увеличивая количество сторон вдвое, например, \(4\), \(8\), \(16\) и т. д. Тогда каждый последующий многоугольник будет включать предыдущий. Поэтому последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена (снизу числом , а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Поэтому полученная последовательность сходящаяся.
Математики вычислили предел этой последовательности, равный площади круга, и нашли формулу .