Определение предела последовательности

Число

b

является пределом последовательности

(y_{n})

, если все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в выбранную окрестность точки

b

Это записывают так:

y_{n} \to b

, или

\lim_{n \to \infty} y_{n} = b

Дадим определение, что такое окрестность точки.

Окрестность точки

b

радиуса

r_{1}

есть интервал

(b - r_{1}; b + r_{1})

(r_{1} > 0)

Пусть интервал $(b - r_{1}; b + r_{1})$ — окрестность точки $b$ радиуса $r_{1}$ , $(r_{1} > 0)$ . Пусть номер $n_{1}$ такой, что начиная с этого номера все члены последовательности $(y_{n})$ попадают в окрестность $(b - r_{1}; b + r_{1})$ : $y_{n_{1}} \in (b - r_{1}; b + r_{1}), y_{n_{1} + 1} \in (b - r_{1}; b + r_{1}), y_{n_{1} + 2} \in (b - r_{1}; b + r_{1})$ и т. д.

Тогда число $b$ является пределом последовательности $(y_{n})$ .

Пример:

дана последовательность

(y_{n})

1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} ... \frac{1}{n} ...

Доказать, что

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Решение.

Выберем некоторую окрестность точки

0

радиуса

r

Очевидно, что методом подбора можно найти такое натуральное число

n_{0}

, чтобы выполнялось неравенство

\frac{1}{n_{0}} < r

Если

r = 0, 001

, то

n_{0}

может быть

1001

, т. к.

\frac{1}{1001} < 0,001

, и т. д.

Это значит, что член последовательности

(y_{n})

с номером

n_{0}

, т. е.

y_{n_{0}}

, попадает в выбранную окрестность точки

0

. В этой же окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности

y_{n} = \frac{1}{n}

. Согласно определению это означает, что

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Для наглядности построим график последовательности

y_{n} = \frac{1}{n}

, который состоит из точек с абсциссами

1, 2, 3, 4 ...

, лежащих на ветви гиперболы

y = \frac{1}{x}

Так как

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

, то прямая

y = 0

является горизонтальной асимптотой графика функции

y = \frac{1}{x}, x \in N

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Определение предела последовательности

Теория: