Внесение множителя под знак радикала

3. Внесение множителя под знак радикала

Теория

Рассмотрим примеры преобразования иррациональных выражений,

в которых необходимо внести множитель под знак радикала.

Формулу

\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}

можно применять как слева направо, так и справа налево.

Чтобы внести множитель под знак корня, формулу применяют в виде

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

Пример:

сравнить числа

5 \sqrt[3]{2}

2 \sqrt[3]{5}

Решение:

представим числа \(5\) и \(2\) в виде корней \(3\) степени

5 = \sqrt[3]{5^{3}} = \sqrt[3]{125}

2 = \sqrt[3]{2^{3}} = \sqrt[3]{8}

Применим свойство

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

для каждого выражения:

5 \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{250}

;

2 \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}

Теперь можно сравнить:

\sqrt[3]{250} > \sqrt[3]{40}

, т. е.

5 \sqrt[3]{2} > 2 \sqrt[3]{5}

Пример:

упростить выражение:

\sqrt[7]{c^{2} \cdot \sqrt[5]{c}}

Решение:

запишем

c^{2}

в виде корня \(5\)-й степени

\sqrt[5]{{(c^{2})}^{5}} = \sqrt[5]{c^{2 \cdot 5}} = \sqrt[5]{c^{10}}

и применим формулу

\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

c^{2} \cdot \sqrt[5]{c} = \sqrt[5]{c^{10}} \cdot \sqrt[5]{c} = \sqrt[5]{c^{10} \cdot c} = \sqrt[5]{c^{10 + 1}} = \sqrt[5]{c^{11}}

Теперь вернёмся к исходному выражению и воспользуемся формулой

\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} = \sqrt[nk]{a}

, тогда выражение можно записать в виде:

\sqrt[7]{c^{2} \cdot \sqrt[5]{c}} = \sqrt[7]{\sqrt[5]{c^{11}}} = \sqrt[7 \cdot 5]{c^{11}} = \sqrt[35]{c^{11}}