Однородные уравнения — урок. Алгебра, 11 класс.

5. Однородные уравнения

Теория

Однородные уравнения — уравнения вида:

k_{1} a^{n} + k_{2} a^{n - 1} b + ... + k_{n} {ab}^{n - 1} + k_{n + 1} b^{n} = 0 .

Другими словами, каждый одночлен в уравнении имеет степень \(n\).

Пример:

2^{2 x} + 6 \cdot 2^{x} 3^{x} + 5 \cdot 3^{2 x} = 0

;

\sin^{2} x - 4 \cdot sinx \cdot cosx + 3 \cdot \cos^{2} x = 0 .

Однородные уравнения решаются делением левой и правой частей уравнения на максимальную степень одного из двух оснований.

Пример:

\sin^{2} x - 4 \cdot sinx \cdot cosx + 3 \cdot \cos^{2} x = 0 .

Заметим, что

cosx \neq 0

, потому что иначе синус тоже должен быть равен нулю, но синус и косинус не могут быть равны нулю одновременно. Разделим обе части уравнения на

\cos^{2} x \neq 0

\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} - 4 \cdot \frac{sinx}{cosx} + 3 = 0

;

{tg}^{2} x - 4 tgx + 3 = 0

;

[\begin{array}{l} tgx = 1, \\ tgx = 3; \end{array}

[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + π k, k \in ℤ, \\ x = arctg 3 + π n, n \in ℤ . \end{array}

Ответ:

\frac{π}{4} + π k; arctg 3 + π n, k, n \in ℤ .