Показательные уравнения. Понятие и свойства степени с рациональным показателем

1. Показательные уравнения. Понятие и свойства степени с рациональным показателем

Теория

Показательные уравнения — уравнения вида

a^{f (x)} = a^{g (x)}

, где число

a

больше нуля и не равно $1$, а также уравнения, сводящиеся к этому виду.

Для их решения используют следующее.

Свойства степеней с рациональными показателями

1) Если

n = 1

, то

a^{1} = a

;

2) если

n = 0

a \neq 0

, то

a^{0} = 1

;

3) если

n = 2, 3, 4, 5 ...,

то

a^{n} = a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a

(

n

множителей);

4) если

n = 1, 2, 3, 4, ...

a \neq 0

, то

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Пример:

5^{1} = 5

;

7^{0} = 1

;

a^{4} = a \cdot a \cdot a \cdot a

;

a^{- 4} = \frac{1}{a^{4}}

Если

\frac{p}{q}

— обыкновенная дробь (

p > 0, q \neq 1

) и

a > 0

, то под

a^{\frac{p}{q}}

понимают

\sqrt[q]{a^{p}}

, т. е.

a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}}, a \geq 0 .

Пример:

3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}

;

7^{\frac{5}{4}} = \sqrt[4]{7^{5}}

;

64^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64^{2}} = {(\sqrt[3]{4^{3}})}^{2} = 4^{2} = 16

Обрати внимание!

В дробные степени можно возводить только неотрицательные числа (об этом сказано в определении).

Поэтому запись ${(- 7)}^{\frac{1}{5}}$ не имеет смысла.

Если $\frac{p}{q}$ — обыкновенная дробь ( $q \neq 1$ ) и $a > 0$ , то под $a^{- \frac{p}{q}}$ понимают $\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}$ , т. е. $a^{- \frac{p}{q}} = \frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}, a > 0$ .

Пример:

1. $3^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ;

2. $7^{- \frac{5}{4}} = \frac{1}{7^{\frac{5}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{7^{5}}}$ .

Справедливы следующие свойства (предполагаем, что $a > 0, b > 0, s, t$ — произвольные рациональные числа):

\begin{array}{l} 1) a^{s} \cdot a^{t} = a^{s + t}; \\ 2) a^{s} : a^{t} = a^{s - t}; \\ 3) {(a^{s})}^{t} = a^{s \cdot t}; \\ 4) {(a \cdot b)}^{s} = a^{s} \cdot b^{s}; \\ 5) {(\frac{a}{b})}^{s} = \frac{a^{s}}{b^{s}} . \end{array}

Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений, которые приводятся в следующих теоретических материалах данного раздела.

Вернуться в тему

Следующая теория