Переход к новому основанию логарифма

1. Переход к новому основанию логарифма

Теория

Рассмотрим уравнения с логарифмами различных оснований.

В таких случаях удобно применять формулы перехода от одного основания к другому:

если

a > 0, a \neq 1, b > 0, c > 0, c \neq 1,

то верно равенство

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}

Пример:

реши уравнение:

\log_{2} x - \log_{0,5} x = 8

Решение

ОДЗ: \(x>0\);

x \in (0; + \infty)

Применим формулу перехода к новому основанию \(2\):

\begin{array}{l} \log_{2} x - \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 0,5} = 8; \\ \log_{2} x - \frac{\log_{2} x}{\log_{2} \frac{1}{2}} = 8; \\ \log_{2} x - \frac{\log_{2} x}{- 1} = 8; \\ \log_{2} x + \log_{2} x = 8; \\ 2 \cdot \log_{2} x = 8 | : 2; \\ \log_{2} x = 4; \\ x = 16 . \end{array}

Ответ: \(x=16\).

Если

a > 0, a \neq 1, b > 0, b \neq 1,

то верно равенство

\log_{a} b = \frac{1}{\log_{b} a}

Пример:

реши уравнение:

2 \log_{2}^{2} x - \frac{5}{\log_{x} 2} = 3

Решение

ОДЗ: \(x>0\) и

x \neq 1

;

2 \log_{2}^{2} x - 5 \log_{2} x - 3 = 0

Пусть

\log_{2} x = t

;

\begin{array}{l} 2 t^{2} - 5 t - 3 = 0; \\ t_{1} = - \frac{1}{2} t_{2} = 3; \\ \log_{2} x = - \frac{1}{2}; \log_{2} x = 3; \\ x_{1} = 2^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}; x_{2} = 2^{3} = 8 . \end{array}

Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ:

\frac{\sqrt{2}}{2}; 8

Если

a > 0, a \neq 1, b > 0, r \neq 0,

то верно равенство

\log_{a} b = \log_{a^{r}} b^{r}

Пример:

реши уравнение:

\log_{\sqrt{3}} x + \log_{3} x = 6 - \log_{\frac{1}{3}} x

Решение

ОДЗ: \(x>0\);

\begin{array}{l} \log_{{(\sqrt{3})}^{2}} x^{2} + \log_{3} x = 6 - \log_{{(\frac{1}{3})}^{- 1}} x^{- 1}; \\ \log_{3} x^{2} + \log_{3} x = 6 - \log_{3} x^{- 1}; \\ \log_{3} x^{2} + \log_{3} x - \log_{3} x = 6; \\ \log_{3} x^{2} = 6; \\ {2log}_{3} |x| = 6; \\ \log_{3} |x| = 3; \\ |x| = 3^{3}; \\ |x| = 27 . \end{array}

x_{1} = - 27 \notin

ОДЗ;

x_{2} = 27 \in

ОДЗ.

Ответ: \(x=27\).