Системы показательных и логарифмических неравенств

Системы логарифмических и показательных неравенств

1. Системы показательных и логарифмических неравенств

Теория

Условие, когда ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких неравенств с двумя или более переменными, называют системой неравенств.

Решить систему неравенств — это значит найти множество всех общих для обоих неравенств решений.

Решением системы неравенств называют значение переменной, которое каждое из неравенств системы обращает в верное числовое неравенство.

Чтобы найти решение системы неравенств, надо найти пересечение множеств входящих в неё неравенств.

Пример:

решить систему неравенств.

\{\begin{cases} 7^{2 x + 1} > 49 \\ 2 x - 4 > 3 \end{cases}

Решение:

представим \(49\) в виде степени с основанием \(7\) в первом неравенстве.

\{\begin{cases} 7^{2 x + 1} > 7^{2} \\ 2 x - 4 > 3 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 x + 1 > 2 \\ 2x - 4 > 3 \end{cases}

Т. к.

y = 7^{t} (7 > 1)

возрастающая функция, знак неравенства не меняется.

\{\begin{cases} 2 x > 2 - 1 \\ 2 x > 3 + 4 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 2 x > 1 | : 2 \\ 2 x > 7 | : 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0,5 \\ x > 3,5 \end{cases}

Ответ:

x \in (3,5; + \infty)

Пример:

решить систему неравенств:

\{\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (5 x - 1) \geq 0 \\ 2 x + 4 > 3 \end{cases}

Решение:

1. в первом неравенстве представим \(0\) в виде логарифма с основанием

\frac{1}{3}

\{\begin{cases} \log_{\frac{1}{3}} (5 x - 1) \geq \log_{\frac{1}{3}} 1 \\ 2 x + 4 > 3 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 5 x - 1 \leq 1 \\ 2 x + 4 > 3 \end{cases}

Т. к.

y = \log_{\frac{1}{3}} t

убывающая

(0 < \frac{1}{3} < 1)

, знак неравенства меняется.

\{\begin{cases} 5 x \leq 1 + 1 \\ 2 x > 3 - 4 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 5 x \leq 2 | : 5 \\ 2 x > - 1 | : 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x \leq 0, 4 \\ x > - 0,5 \end{cases}

x \in (- 0,5; 0, 4]

2. ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть положительным:

\begin{array}{l} 5 x - 1 > 0; \\ 5 x > 1 | : 5; \\ x > 0,2; \\ x \in (0,2; + \infty) . \end{array}

3. Проверим принадлежность множества решений системы ОДЗ.

\{\begin{cases} x \in (- 0,5; 0, 4] \\ x \in (0,2; + \infty) \end{cases}

Ответ:

x \in (0,2; 0, 4]

Источники:

Вернуться в тему

Следующее задание