Перестановки с повторениями — урок. Алгебра, 11 класс.

2. Перестановки с повторениями

Теория

Если в основном множестве \(k\) элементов

a_{1}, a_{2} ... a_{k}

, и выборка \(n\) элементов составляется так:

элемент

a_{1}

повторяется

n_{1}

раз,

элемент

a_{2}

повторяется

n_{2}

раз

...

элемент

a_{k}

повторяется

n_{k}

раз —

такие выборки называются перестановками с повторениями.

Их возможное количество вычисляется по формуле:

\bar{P_{n}} = P_{n_{1}, n_{2}, ... n_{k}} = \frac{n!}{n_{1}! \cdot n_{2}! \cdot ... \cdot n_{k}!}

Пример:

сколько различных пятибуквенных слов можно составить из букв слова «манна»?

Решение:

в слове буквы а и н повторяются \(2\) раза, а буква м — один раз.

\bar{P_{5}} = P_{2,2,1} = \frac{5!}{2! \cdot 2! \cdot 1!} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{2 \cdot 2} = 30