Сочетания — урок. Алгебра, 11 класс.

1. Сочетания

Теория

Сочетанием из \(n\) элементов по \(m\) элементов

(m \leq n)

называется выборка элементов \(m\) из данного неупорядоченного множества.

Количество сочетаний обозначается как

C_{n}^{m}

(читается: сочетания из \(n\) по \(m\)).

Сочетания вычисляются по формуле

C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}

Пример:

1. Даны \(3\) элемента.
круги_8.png

a) Сколькими способами можно выбрать \(2\) из них, если порядок неважен?

Это можно сделать \(3\) способами:

1) круги_9.png

;
2)

;
3)

.

Или по формуле:

C_{3}^{2} = \frac{3!}{2! \cdot (3 - 2)!} = \frac{3 \cdot 2!}{2! \cdot 1!} = 3

b) Сколькими способами можно выбрать \(1\) элемент, если порядок неважен?

Это тоже можно сделать \(3\) способами:
1) круги_17.png

; 2)

; 3)

Или по формуле:

C_{3}^{1} = \frac{3!}{1! \cdot (3 - 1)!} = \frac{3 \cdot 2!}{1! \cdot 2!} = 3

2. У Светланы есть \(12\) платьев. Сколькими способами из них можно выбрать \(3\) платья для поездки на курорт?

Решение:
так как порядок выбора платьев неважен, нужно вычислить сочетания по \(3\) элемента из \(12\) элементов, т. е. \(n = 12\) и \(m = 3\).

C_{12}^{3} = \frac{12!}{3! (12 - 3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = \frac{9! \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{3! \cdot 9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1320}{6} = 220

Ответ: три платья из \(12\) можно выбрать \(220\) различными способами.

3. Из \(6\) человек (\(2\) женщин и \(4\) мужчин) нужно выбрать \(1\) женщину и \(2\) мужчин. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

так как порядок выбора неважен (в конце концов команда будет той же), нужно вычислить, сколькими способами из \(2\) женщин можно выбрать \(1\), а из \(4\) мужчин — двоих.

\begin{array}{l} 6 чел . \\ ↙ ↘ \\ жен . 2 муж . 4 \\ ↓ ↓ \\ выбрать 1 2 \end{array}

Количество сочетаний женщин (\(n = 2\) и \(m = 1\)):

C_{2}^{1} = \frac{2!}{1! (2 - 1)!} = \frac{2!}{1! \cdot 1!} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{2}{1} = 2

Количество сочетаний мужчин (\(n = 4\) и \(m = 2\)):

C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! (4 - 2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4}{2! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 2} = \frac{12}{2} = 6

Чтобы получить ответ, используем закон умножения:

C_{2}^{1} \cdot C_{4}^{2} = 2 \cdot 6 = 12

Ответ: из данных людей \(1\) женщину и \(2\) мужчин можно выбрать \(12\) различными способами.

4. Четырём игрокам домино раздаётся \(28\) костей поровну. Сколькими различными способами можно разделить кости домино?

Решение:

первому игроку дать кости можно

C_{28}^{7}

способами.

Второму игроку дать кости можно

C_{21}^{7}

способами.

Третьему игроку дать кости можно

C_{14}^{7}

способами.

Четвёртому игроку дать кости можно

C_{7}^{7} = 1

способом.

Всего кости можно раздать

C_{28}^{7} \cdot C_{21}^{7} \cdot C_{14}^{7} \cdot C_{7}^{7}

способами.

Сочетания из \(n\) элементов по \(m\) элементов получают, если из размещений из \(n\) элементов по \(m\) элементов исключить те выборки, которые отличаются только порядком элементов.

C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{P_{m}}

Вернуться в тему

Следующая теория