Биноминальная формула Ньютона — урок. Алгебра, 11 класс.

2. Биноминальная формула Ньютона

Теория

Формула бинома Ньютона:

\begin{array}{l} {(a + b)}^{n} = \\ = C_{n}^{0} a^{n} b^{0} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b^{1} + C_{n}^{2} a^{n - 2} b^{2} + C_{n}^{3} a^{n - 3} b^{3} + ... + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + C_{n}^{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + C_{n}^{n} a^{0} b^{n} . \end{array}

В правой части формулы — разложение степени бинома.

C_{n}^{k}

— биномиальные коэффициенты, а слагаемые — члены бинома.

Биномиальные коэффициенты — это те числа, которые составляют треугольник Паскаля.

Сумма этих коэффициентов равна

2^{n}

\begin{array}{l} {(a + b)}^{0} = 1; \\ {(a + b)}^{1} = 1 \cdot a + 1 \cdot b; \\ {(a + b)}^{2} = 1 a^{2} + 2 ab + 1 b^{2}; \\ {(a + b)}^{3} = 1 a^{3} + 3 a^{2} b + 3 {ab}^{2} + 1 b^{3}; \\ {(a + b)}^{4} = 1 a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 {ab}^{3} + 1 b^{4} . \end{array}

\begin{array}{l} C_{0}^{0} = 1; \\ C_{n}^{n} = 1; \\ C_{n}^{1} = n . \end{array}

Пример:

1. Напиши разложение степени бинома.

\begin{array}{l} {(x - 2 y)}^{6} = {(x + (- 2 y))}^{6} = \\ = x^{6} + {6 x}^{5} (- 2 y) + 15 x^{4} {(- 2 y)}^{2} + 20 x^{3} {(- 2 y)}^{3} + 15 x^{2} {(- 2 y)}^{4} + \\ + 6 x {(- 2 y)}^{5} + {(- 2 y)}^{6} = \\ = x^{6} - {12 x}^{5} y + 60 x^{4} y^{2} - 160 x^{3} y^{3} + 240 x^{2} y^{4} - {192 xy}^{5} + {64 y}^{6} . \end{array}

2. Вычисли средний член разложения

{(3 a + b)}^{6}

Решение:

в разложении $6 + 1 = 7$ членов, значит, средний член — четвёртый.

T_{4} = T_{3 + 1} = C_{6}^{3} {(3 a)}^{6 - 3} \cdot b^{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 27 a^{3} b^{3} = 540 a^{3} b^{3}

3. Вычисли член разложения

{(x^{2} + \frac{1}{x})}^{12}

, который содержит

x^{3}

Решение:

T_{k + 1} = C_{12}^{k} {(x^{2})}^{12 - k} \cdot {(x^{- 1})}^{k} = C_{12}^{k} x^{24 - 2 k} \cdot x^{- k} = C_{12}^{k} x^{24 - 3 k}

Если член содержит

x^{3}

, то

x^{24 - 3 k} = x^{3}

;

24 - 3 k = 3

;

k = \frac{24 - 3}{3} = 7

Значит, это

k + 1 = 7 + 1 = 8

член.

T_{8} = C_{12}^{7} x^{3} = C_{12}^{5} x^{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot x^{3} = \frac{95040}{120} \cdot x^{3} = 792 x^{3}

Ответ: $8$ член разложения равен

792 x^{3}

«Бином» с греческого языка переводится как «двучлен».