Центральные тенденции — урок. Алгебра, 11 класс.

В статистике исследуют различные совокупности данных — числовых значений случайных величин с учётом частот, с которыми они встречаются в совокупности.

Набор всех данных назовём генеральной совокупностью, а любую её часть — выборкой.

В статистических исследованиях выборку называют репрезентативной, если в ней присутствуют те и только те значения случайной величины, что и в генеральной совокупности, причём частоты имеющихся в ней данных находятся практически в тех же отношениях, что и в генеральной совокупности.

Совокупность данных иногда нужно оценить одним числом. Мерой центральной тенденции может являться среднее, мода или медиана.

Мода (обозначают $Mo$ ) — это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту в рассматриваемой выборке.

Пример:

мода выборки $7$, $6$, $2$, $5$, $6$, $1$ равна $6$;

a выборка $2$, $3$, $8$, $2$, $8$, $5$ имеет две моды: $Mo$ $= 2$, $Mo$ $= 8$.

Медиана (обозначают

Me

) — это число (значение случайной величины), разделяющее упорядоченную выборку на две равные по количеству данных части.

Если в упорядоченной выборке нечётное количество данных, то медиана равна серединному из них. Если в упорядоченной выборке чётное количество данных, то медиана равна среднему арифметическому двух серединных чисел.

Пример:

1) $5$, $9$, $1$, $4$, $5$, $-2$, $0$; 2) $7$, $4$, $2$, $3$, $6$, $1$.

1. Расположим элементы выборки в порядке возрастания: $-2$, $0$, $1$, $4$, $5$, $5$, $9$. Количество данных нечётно. Слева и справа от числа $4$ находятся по $3$ элемента, т. е. $4$ — серединное число выборки, поэтому $Me$ $= 4$.

2. Упорядочим элементы выборки: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $7$.

Количество данных чётно. Серединные данные выборки: $3$ и $4$ — поэтому $Me = \frac{3 + 4}{2} = 3,5$ .

Среднее (или среднее арифметическое) выборки — это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству.

Если рассматривается совокупность значений случайной величины $X$ , то её среднее обозначают $\bar{X}$ .

Пример:

найти среднее выборки значений случайной величины $X$ , распределение которых по частотам представлено в таблице:

$X$	$2$	$3$	$4$	$8$	$10$
$M$	$1$	$2$	$3$	$1$	$1$

\bar{X} = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 1 + 10 \cdot 1}{1 + 2 + 3 + 1 + 1} = \frac{38}{8} = 4,75

Одной из наиболее распространённых характеристик выборки значений случайной величины, чьё распределение по вероятностям известно, является так называемое математическое ожидание.

Пусть распределение по вероятностям $P$ значений некоторой случайной величины $X$ задано таблицей.

$X$	$X_{1}$	$X_{2}$	$...$	$X_{n - 1}$	$X_{n}$
$P$	$P_{1}$	$P_{2}$	$...$	$P_{n - 1}$	$P_{n}$

Тогда число

E

, где

E = X_{1} \cdot P_{1} + X_{2} \cdot P_{2} + ... + X_{n - 1} \cdot P_{n - 1} + X_{n} \cdot P_{n}

, называют математическим ожиданием (или средним значением) случайной величины

X

Вернуться в тему

Следующее задание

\(X\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(8\)	\(10\)
\(M\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(1\)	\(1\)

1. Центральные тенденции

Теория: