Производная функции в точке $x_0$ равна коэффициенту направления касательной функции \(f(x)\) в точке $(x_0;f(x_0))$.

 

Касательная графика функции в точке  $M_0$ описывается как прямая, к которой стремится прямая $M{M}_0$, если точка $M$ перемещается по графику функции, стремясь к точке $M_0$. Обозначим точку $M_0$ как $(x_0;f(x_0))$ (см. рисунок).

 

 

Коэффициент направления прямой $M{M}_0$ равен тангенсу угла $\sphericalangle M{M}_{0}N$:

$k_{M{M}_0}=\mathit{tg}\sphericalangle M{M}_{0}N=\frac{\mathit{MN}}{M_{0}N}=\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$.

 

Наконец, используя определение производной, получаем, что коэффициент направления касательной равен производной функции в соответствующей точке.

$k=\underset{M\to M_0}{\mathit{lim}}{k}_{M{M}_0}=\underset{x\to x_0}{\mathit{lim}}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=f\mathrm{\prime }(x_0)$.