Теория:
Рассмотрим функцию, график которой изображён на рисунке:
Для заданного случая предел функции при стремлении \(x\) к \(a\) равен \(b\). Записывают: .
Эта запись отражает следующее: при выборе значений аргумента наиболее близко к значению \(x=a\), соответствующие значения функции приближаются всё ближе к предельному значению \(b\).
То есть при \(x\), попадающем в достаточно малую окрестность точки \(a\). Причём, чем меньшая окрестность выбирается, тем точнее приближённое равенство.
Обратим внимание, что сама точка \(x=a\) при этом не рассматривается.
Функцию называют непрерывной в точке \(x=a\), если выполняется соотношение:
.
То есть функция является непрерывной в точке \(x=a\), если предел функции при \(x\), стремящемся к \(a\), равен значению функции в точке \(x=a\).
Функцию называют непрерывной на промежутке \(X\), если она непрерывна в каждой точке промежутка.
Функция , составленная из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений , является непрерывной в любой точке области определения.