Натуральные логарифмы. Функция у = lп х, её свойства, график, дифференцирование

2. Натуральные логарифмы. Функция у = lп х, её свойства, график, дифференцирование

Теория

Если основанием логарифма служит число $e$, то говорят, что задан натуральный логарифм (

\ln x

Функция

y = \ln x

является обратной к функции

y = e^{x}

, поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первой четверти (прямой $y=x$).

График функции

y = e^{x}

называется экспонентой, касательная к её графику в нуле наклонена к оси $x$ под углом

45^{°}

Свойства функции $y = \ln x$ :

1) $D (f) = (0; + \infty)$ ;

2) возрастает на $(0; + \infty)$ ;

3) $E (f) = (- \infty; + \infty)$ ;

4) непрерывна и дифференцируема;

5) выпукла вверх.

Для любого значения $x>0$ справедлива формула дифференцирования: ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ .

${(a^{x})}^{'} = a^{x} \ln a$ .

Пример:

${(2^{x})}^{'} {= 2}^{x} \ln 2$ .

${(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{xln a}$ .

Пример:

${(\log_{5} x)}^{'} = \frac{1}{x ln5}$ .