Число е. Функция у = е^x, её свойства, график, дифференцирование

Производная показательной и логарифмической функции

1. Число е. Функция у = е^x, её свойства, график, дифференцирование

Теория

Число $e$ — иррациональное, т. е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь: $e = 2,7182818284590...$; на практике обычно полагают, что $e \approx 2,7$ .

График функции $y = e^{x}$ (называется экспонентой) изображён на рисунке:

Угол между касательной к экспоненте в точке $x = 0$ и осью абсцисс равен $45^{°}$ . Этим график функции $y = e^{x}$ отличается от других графиков экспоненциального вида (показательных функций с другими основаниями).

Свойства функции $y = e^{x}$ :

1) $D (f) = (- \infty; + \infty)^{'}$ ;

2) ни чётная, ни нечётная;

3) возрастающая;

4) ограниченная снизу;

5) у функции нет наибольшего и наименьшего значений;

6) непрерывная;

7) $E (f) = (0; + \infty)$ ;

8) выпукла вниз;

9) дифференцируема.

Формула для отыскания производной функции $y = e^{x}$ : ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ .

Пример:

вычислить значение производной функции $y = e^{4 x - 12}$ в точке $x = 3$.

Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования функции $y = f (kx + m)$ , согласно которому $y^{'} = kf (kx + m)$ , и тем, что ${(e^{x})}^{'} = e^{x}$ . Получим:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(e^{4 x - 12})}^{'} = 4 e^{4 x - 12}; \\ y^{'} (3) = 4 e^{4 \cdot 3 - 12} = 4 e^{12 - 12} = 4 e^{0} = 4 . \end{array}$

Ответ: $4$.

Вернуться в тему

Следующая теория