Вычисление производной логарифмированием

Производная показательной и логарифмической функции

3. Вычисление производной логарифмированием

Теория

Чтобы вычислить производную произведения (частного) нескольких функций или степени, в которой основание и показатель степени являются функциями, пригодится формула

y' = y (\ln y)'

Её получают следующим образом (используя формулу вычисления производной сложной функции):

y' = (e^{\ln y})' = e^{\ln y} \cdot (\ln y)' = y \cdot (\ln y)'

Пример:

\begin{array}{l} (x^{x})' = x^{x} (\ln x^{x})' = x^{x} (x \ln x)' = \\ = x^{x} (x' \ln x + x (\ln x)') = x^{x} (1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = x^{x} (\ln x + 1) . \end{array}

\begin{array}{l} y = \frac{{(x + 1)}^{4} \sqrt[3]{2 x + 1}}{\sqrt{x}} y' = ? \\ (\ln y)' = {(\ln \frac{{(x + 1)}^{4} \sqrt[3]{2 x + 1}}{\sqrt{x}})}^{'} = {(4 \ln (x + 1) + \frac{\ln (2 x + 1)}{3} - \frac{\ln x}{2})}^{'} = \\ = \frac{4}{x + 1} + \frac{2}{3 (2 x + 1)} - \frac{1}{2 x}; \\ y' = y (\ln y)' = \frac{{(x + 1)}^{4} \sqrt[3]{2 x + 1}}{\sqrt{x}} (\frac{4}{x + 1} + \frac{2}{3 (2 x + 1)} - \frac{1}{2 x}) . \end{array}

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория