Производная параметрически заданной функции

4. Производная параметрически заданной функции

Теория

Допустим, что функция \(y=f(x)\) задана параметрически в виде системы

\{\begin{cases} x = x (t) \\ y = y (t) \end{cases}

(где \(t\) — параметр, который меняется в определённых границах).

Если существуют производные

x_{t}^{'} \neq 0

y_{t}^{'}

, то производная функции \(y=f(x)\) вычисляется по данной формуле:

y_{x}^{'} = \frac{y_{t}^{'}}{x_{t}^{'}}

Пример:

если

\{\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}

, то

y_{x}^{'} = \frac{y_{t}^{'}}{x_{t}^{'}} = \frac{{(b \sin t)}_{t}^{'}}{{(a \cos t)}_{t}^{'}} = - \frac{b \cos t}{a \sin t} = - \frac{b}{a} ctg t