Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции

Вычисление производных. Правила дифференцирования

4. Дифференцирование сложной функции. Дифференцирование обратной функции

Теория

Пусть функция \(u=g(x)\) определена на множестве \(X\), и \(U\) — область её значений.
Пусть далее функция \(y=f(u)\) определена на множестве \(U\).
Поставим в соответствие каждому \(x\) из \(X\) число \(f(g(x))\).
Говорят, что на множестве \(X\) задана сложная функция \(y=f(g(x))\).

Если известна производная функции \(f(x)\), то производную сложной функции \(f(u)\) можно вычислить с помощью следующей формулы:

(f (u))' = f' (u) \cdot u'

Пример:

\(1\) задание. Вычислить производную функции

{(x + 2)}^{10}

. Обозначим

u = x + 2

Так как

(x^{10})' = 10 x^{9}

, то

({(x + 2)}^{10})' = (u^{10})' = 10 u^{9} \cdot u' = 10 {(x + 2)}^{9} \cdot 1 = 10 {(x + 2)}^{9}

\(2\) задание. Вычислить производную функции

f (x) = \sin (\cos x)

. Обозначим

u = \cos x

(\sin x)' = \cos x

, поэтому

\begin{array}{l} (\sin (\cos x))' = (\sin u)' = \cos u \cdot u' = \\ = \cos (\cos x) \cdot (\cos x)' = \\ = \cos (\cos x) \cdot (- \sin x) = \\ = - \cos (\cos x) \cdot \sin x . \end{array}

\(3\) задание. Вычислить производную функции

\sqrt{\cos x^{2}}

. Обозначим

u = \cos x^{2}

(\sqrt{x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

, поэтому

(\sqrt{\cos x^{2}})' = (\sqrt{u})' = \frac{1}{2 \sqrt{u}} \cdot u' = \frac{u'}{2 \sqrt{u}} = \frac{(\cos x^{2})'}{2 \sqrt{\cos x^{2}}}

Таким же образом вычислим производную функции

\cos x^{2}

. Снова обозначим

u = x^{2}

(\cos x^{2})' = (\cos u)' = - \sin u \cdot u' = - \sin x^{2} \cdot (x^{2})' = - 2 x \sin x^{2}

Далее, вставив полученное выражение, получаем:

(\sqrt{\cos x^{2}})' = \frac{- 2 x \sin x^{2}}{2 \sqrt{\cos x^{2}}} = - \frac{x \sin x^{2}}{\sqrt{\cos x^{2}}}

Зная производную функции \(y=f(x)\), можно производную обратной функции \(x=g(y)\) найти по формуле:

{x_{y}^{}}^{'} = \frac{1}{{y_{x}^{}}^{'}}

(разумеется, при условии, что

f^{'} (x) \neq 0

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание