Теория:
Решением уравнения с двумя переменными \(p(x;y)=0\) является пара чисел \((x;y)\), при которых данное уравнение является верным числовым равенством.
Уравнение с двумя переменными часто имеет бесконечно много решений.
Пример:
решением уравнения является любая пара \((x;y)\), такая, что точка \(M(x;y)\) лежит на окружности радиусом \(3\) с центром в начале координат.
Диофантово уравнение — это уравнение с несколькими переменными и с целыми коэффициентами, для которого нужно найти целые решения.
Пример:
решить уравнение в целых числах .
Выразим \(x\) из данного уравнения: .
При делимости числа \(y\) на \(3\) могут быть три возможности:
1) \(y = 3k\),
2) \(y = 3k+1\),
3) \(y = 3k+2\).
Если \(y = 3k\), то получим . Это число на \(3\) не делится, т. к. \(12k\) делится на \(3\), а \(19\) не делится на \(3\).
Если \(y = 3k+1\), то получим .
Это число на \(3\) делится.
Если \(y = 3k+2\), то получим . Это число на \(3\) не делится.
Значит, единственная возможность целочисленного решения уравнения есть пара чисел \((5-4k\); \(3k+1)\), где \(k\) — любое целое число.
Решением неравенства \(p(x;y)>0\) называют всякую пару чисел \((x;y)\), которая удовлетворяет этому неравенству, т. е. обращает его в верное числовое неравенство.
Пример:
решить неравенство \(2x+3y>0\).
Построим график уравнения \(2x+3y=0\) — прямую.
Решением неравенства являются точки полуплоскости выше или ниже построенной прямой.
Для правильного определения нужной полуплоскости выберем любую точку из неё, координаты которой подставим в данное неравенство.
Если неравенство будет верным, то полуплоскость выбрана верно.
Выбрав контрольную точку \((1;1)\) из верхней полуплоскости, получим верное числовое неравенство: .
Значит, решением данного неравенства является верхняя полуплоскость.
Аналогично можно рассуждать при решении системы неравенств с двумя переменными.
Решить систему неравенств с двумя переменными — найти на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых удовлетворяют каждому неравенству системы.