Теория:
Координатной прямой или координатной осью называют прямую \(x\), на которой обозначены начало отсчёта (точка \(O\)), единичный отрезок (отрезок длиной \(1\)) и положительное направление.
Любая точка на координатной прямой соответствует числу, причём единственному. И наоборот, для любого числа можно найти точку на координатной прямой.
Например, числу \(2\) соответствует точка \(A\), которая находится на расстоянии \(2\) от начальной точки \(O\) в положительном направлении.
Точка \(M\) соответствует числу \(-2\), которая находится на расстоянии \(2\) от начальной точки \(O\) в отрицательном направлении, т. е. в направлении, противоположном заданному.
Обратные утверждения также верны. Если точка \(N\) находится на расстоянии \(3,5\) в положительном направлении от точки \(O\), то она соответствует числу \(3,5\). Если точка \(M\) находится от точки \(O\) на расстоянии \(2\) в отрицательном направлении, то она соответствует числу \(-2\).
Полученные таким образом числа являются координатами соответствующих точек.
Записываем: \(A\)(\(2\)); \(N\)(\(3,5\)); \(M\)(\(-2\)); \(O\)(\(0\)).
Говорим: точка \(A\) имеет координату \(2\); точка \(N\) имеет координату \(3,5\);
точка \(M\) имеет координату \(-2\);
точка \(O\) имеет координату \(0\).
Расстояние между двумя точками \(A(a)\) и \(B(b)\) на координатной прямой равно \(AB =\) .
Используя эту формулу, получим, что
Окрестностью точки \(a\) называют интервал , где \(r\) — положительное число, являющееся радиусом окрестности.
Координатная прямая показывает геометрический смысл алгебраических предложений.
1. Пусть на координатной прямой отмечена точка \(m\).
Отметим (заштрихуем) на координатной прямой все точки, расположенные правее точки \(m\).
Такое множество точек (чисел) образует открытый луч, который обозначается следующим образом: .
Оно характеризуется неравенством , где \(x\) — любая точка открытого луча.
Если точку \(m\) присоединить к открытому лучу, то получится луч.
Луч обозначаем и характеризуем неравенством .
2. Если отметим (заштрихуем) на координатной прямой все точки, расположенные левее точки \(m\),
то множество точек (чисел) также называют открытым лучом и обозначают . Оно характеризуется неравенством .
Если точку \(m\) присоединить к открытому лучу, то также получится луч.
Луч обозначаем и характеризуем неравенством .
3. Отметим на координатной прямой точки \(m\) и \(n\), причём \(m < n\) (т. е. точка \(m\) расположена на прямой левее точки \(n\)).
Все точки, лежащие между точками \(m\) и \(n\), образуют интервал, который обозначают \((m; n)\) и характеризуют двойным неравенством \(m<x<n\).
Если в это множество точек добавим точки \(m\) и \(n\),
то получится отрезок , который соответствует нестрогому двойному неравенству .
4. Если добавить только \(m\) или только \(n\), то получим полуинтервал.
или
Полуинтервал соответствует двойному неравенству ; полуинтервал соответствует неравенству .
Луч, открытый луч, интервал, отрезок, полуинтервал — все они являются числовыми промежутками. Самым большим промежутком является координатная прямая.
Источники:
Изображения: координатная прямая, промежутки. © ЯКласс.