Формулы сокращённого умножения — урок. Алгебра, 7 класс.

1. Формулы сокращённого умножения

Теория

Формулы сокращённого умножения позволяют сократить вычисления.

1. Квадрат суммы:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Чтобы сумму возвести в квадрат, можно к сумме квадратов первого и второго выражений прибавить удвоенное их произведение.

Действительно:

\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = \\ = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} . \end{array}

Пример:

{(z + 5)}^{2} = z^{2} + 2 \cdot z \cdot 5 + 5^{2} = z^{2} + 10 z + 25

2. Квадрат разности:

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Чтобы разность возвести в квадрат, можно от суммы квадратов первого и второго выражений вычесть удвоенное их произведение.

Действительно:

\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} = (a - b) \cdot (a - b) = a \cdot a + a \cdot (- b) - b \cdot a - b \cdot (- b) = \\ = a^{2} - ab - ba + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} . \end{array}

Эта формула отличается от первой только знаком перед удвоенным произведением.

Пример:

{(z - 5)}^{2} = z^{2} - 2 \cdot z \cdot 5 + 5^{2} = z^{2} - 10 z + 25

3. Разность квадратов:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Чтобы перемножить сумму и разность двух выражений, можно каждое выражение возвести в квадрат и найти их разность.

Действительно:

\begin{array}{l} (a - b) (a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = \\ {= a}^{2} + ab - ab - b^{2} = a^{2} - b^{2} . \end{array}

Пример:

(z - 5) (z + 5) = z^{2} - 5^{2} = z^{2} - 25