Зачем раскладывать на множители — урок. Алгебра, 7 класс.

Понятие разложения многочленов на множители

1. Зачем раскладывать на множители

Теория

Представление многочлена в виде произведения $2$ и более множителей называют разложением многочлена на множители.

К примеру,

x^{2} + x - 6

— многочлен представлен в виде суммы одночленов. Если его разложить на множители, то многочлен будет иметь вид:
$(x - 2) (x + 3)$, где $x - 2$ и $x + 3$ — множители.

Пример:

задание. Разложить число $24$ на два множителя различными способами.

Решение:

$\begin{array}{l} 24 = 2 \cdot 12; \\ 24 = 3 \cdot 8; \\ 24 = 4 \cdot 6 . \end{array}$

Рассмотрим $3$ способа разложения многочлена на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобки.

Пример:

задание. Разложить на множители многочлен $4n$ $–$ $8m$.

Решение: $4n$ $–$ $8m = 4(n$ $–$ $2m)$.

Получили разложение многочлена на множители путём вынесения общего множителя за скобки: $4$ и $n-2m$.

2. Применение формул сокращённого умножения.

Пример:

задание. Разложить на множители многочлен.

Решение:

36 n^{2} - 49 m^{2} = 6^{2} n^{2} - 7^{2} m^{2} = {(6n)}^{2} - {(7m)}^{2} = (6n - 7m) (6n + 7m)

3. Метод группировки.

Пример:

задание. Разложить на множители многочлен.

Решение: $40nm + 8n - 5m - 1 = (40nm - 5m) + (8n - 1) = 5m (8n - 1) + (8n - 1) = (8n - 1) (5m + 1)$ .

Данное преобразование (разложение на множители) актуально при решении уравнений, неравенств и в ряде других вычислительных задач.

Пример:

задание. Преобразовать выражение.

Решение:

\frac{49 - n^{2}}{(7 + n) (12 - n)} = \frac{7^{2} - n^{2}}{(7 + n) (12 - n)} = \frac{(7 - n) (7 + n)}{(7 + n) (12 - n)} = \frac{7 - n}{12 - n}

;

– числитель разложили на множители, применив формулу «разность квадратов»;
– сократили дробь на общий множитель $7+ n$.

Пример:

задание. Решить уравнение:

\begin{array}{l} 8 x^{2} + 16x - x - 2 = 0; \\ (8 x^{2} + 16x) - (x + 2) = 0; \\ 8x \underline{\cdot (x + 2)} - 1 \cdot \underline{(x + 2)} = 0; \\ \underline{(x + 2)} (8x - 1) = 0; \end{array}

\begin{array}{l} 8x - 1 = 0; \\ 8x = 1; \\ x_{1} = 0,125; \end{array}

или

\begin{array}{l} x + 2 = 0; \\ x = - 2; \\ x_{2} = - 2 . \end{array}

Ответ: $-2;0,125$;

– выполнили группировку первого со вторым и третьего с четвёртым членом;
– в первой скобке вынесли общий множитель $8x$, во второй — $-1$;
– вынесли общий множитель $x+2$ за скобки.

В следующих темах мы познакомимся более детально с каждым из способов разложения многочлена на множители.

Вернуться в тему

Следующее задание