1.
Понятие тождества
Теория
Тождеством называется равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных.
Если в данное буквенное равенство подставить вместо переменных любые допустимые значения, то должно получиться верное числовое равенство.
Тождествами, например, будут являться основные свойства действий над числами:
\(a + b = b + a\);
\((a + b) + c = a + (b + c)\);
\(ab = ba\);
\((ab)c = a(bc)\);
\(a\)\((b + c) = ab + ac\);
\(a + 0 = a\);
\(a\) \(0 = 0\);
\(a\) \(1 = a\)
\((a + b) + c = a + (b + c)\);
\(ab = ba\);
\((ab)c = a(bc)\);
\(a\)\((b + c) = ab + ac\);
\(a + 0 = a\);
\(a\) \(0 = 0\);
\(a\) \(1 = a\)
— или формулы сокращённого умножения, например .
Верные числовые равенства тоже являются тождествами.
Пример:
являются ли тождествами следующие равенства:
1. \(77 + x = x + 77\);
2. \(a-b = b-a\);
3. \(-5(-y) = 5y\);
4. .
1. \(77 + x = x + 77\);
2. \(a-b = b-a\);
3. \(-5(-y) = 5y\);
4. .
Из этих равенств тождествами являются \(1\) и \(3\) равенства. Какие бы числа мы в них ни подставили вместо переменных, всегда получатся верные числовые равенства.
\(2\) и \(4\) равенства не являются тождествами. Потому что эти равенства будут выполняться не при всех допустимых значениях переменных.
Рассмотрим \(2\) равенство \(a-b = b-a\).
Например, при значениях \(a = 14\) и \(b = 3\) получится следующий результат:
\(14 - 3 = 3 - 14\);
\(11\) \(-11\).
Например, при значениях \(a = 14\) и \(b = 3\) получится следующий результат:
\(14 - 3 = 3 - 14\);
\(11\) \(-11\).
Рассмотрим \(4\) равенство .
При значении \(z=2\) получится следующий результат:
;
\(4 + 16 = 64\);
\(20\) \(64\).
\(20\) \(64\).