Сокращение дробей — урок. Алгебра, 7 класс.

Применение разложения на множители для сокращения алгебраических дробей

1. Сокращение дробей

Теория

Алгебраической дробью называют отношение двух многочленов \(P\) и \(Q\), т. е.

\frac{P}{Q}

, где \(P\) — числитель, \(Q\) — знаменатель алгебраической дроби.

Например,

\frac{7 z^{4}}{t}, \frac{a + b}{a - b}, \frac{18 a^{2} + 12ab - {2b}^{2}}{2 a^{2}}

Сократить дробь — это значит разделить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же не равное нулю число, которое является их общим множителем.

Обрати внимание!

Сначала надо разложить на множители числитель и знаменатель дроби.

Пример:

1. Разделить одночлен

49 c^{3} d^{5}

на одночлен

7c d^{2}

Решение: Вместо записи

49 c^{3} d^{5}

\(:\)

7c d^{2}

используем черту дроби:

49 c^{3} d^{5} : 7c d^{2} = \frac{49 c^{3} d^{5}}{7c d^{2}}

, т. к. \(c:d\) и

\frac{c}{d}

— одно и то же.

\frac{49 c^{3} d^{5}}{7c d^{2}} = \frac{49}{7} \cdot \frac{c^{3}}{c} \cdot \frac{d^{5}}{d^{2}} = 7 c^{2} d^{3}

2. Сократить алгебраическую дробь.
Решение:

\frac{{(x + 5)}^{2}}{3 x^{2} + 15 x} = \frac{{(x + 5)}^{2}}{3x (x + 5)} = \frac{(x + 5) \cdot (x + 5)}{3x \cdot (x + 5)} = \frac{x + 5}{3x}

- В знаменателе вынесли общий множитель \(3x\) за скобки;
- квадрат двучлена представили в виде произведения двух равных двучленов \(x+5\);
- сократили дробь на выражение \(x+5\).

3. Сократить алгебраическую дробь.
Решение:

\frac{1 - z^{2}}{1 - z^{3}} = \frac{(1 - z) \cdot (1 + z)}{(1 - z) \cdot (1 + z + z^{2})} = \frac{1 + z}{1 + z + z^{2}}

- В числителе применили формулу «разность квадратов», чтобы представить двучлен в виде произведения;
- в знаменателе применили формулу «разность кубов»;
- сократили дробь на выражение \(1-z\).

4. Сократить алгебраическую дробь.
Решение:

\begin{array}{l} \frac{a^{3} {bc}^{3} - 2 a^{2} b^{2} c^{2} + {ab}^{3} c}{4 a^{3} c - 4 a^{2} b} = \frac{abc (a^{2} c^{2} - 2abc + b^{2})}{4 a^{2} (ac - b)} = \frac{bc {(ac - b)}^{2}}{4a (ac - b)} = \frac{bc (ac - b) (ac - b)}{4a (ac - b)} = \\ = \frac{bc (ac - b)}{4a} . \end{array}

- В числителе вынесли общий множитель \(abc\) за скобки. В скобках применили формулу сокращённого умножения (квадрат разности);
- в знаменателе вынесли общий множитель за скобки;
- сократили (разделили и числитель, и знаменатель) на \(ac-b\).

5. Задание. Вычислить.

\frac{36^{2} - 2 \cdot 36 \cdot 16 + 16^{2}}{36^{2} - 16^{2}} = \frac{{(36 - 16)}^{2}}{(36 - 16) (36 + 16)} = \frac{(36 - 16) (36 - 16)}{(36 - 16) (36 + 16)} = \frac{20}{52} = \frac{5}{13}

- В числителе применили формулу «квадрат разности»;
- в знаменателе применили формулу «разность квадратов»;
- сократили на числовое выражение \(36-16\) и на \(4\) последовательно.

Вернуться в тему

Следующее задание