Применение формул сокращённого умножения для разложения многочлена на множители

1. Применение формул сокращённого умножения для разложения многочлена на множители

Теория

Многочлен можно разложить на множители с помощью формул сокращённого умножения, записанных в виде:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

(разность квадратов);

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

(разность кубов);

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

(сумма кубов);

a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}

(квадрат суммы);

a^{2} - 2 ab + b^{2} = {(a - b)}^{2}

(квадрат разности).

Заметь, что в левой части два или три члена.

Рассмотрим на примерах.

Пример:

1. Разложить на множители:

16 x^{2} - 9

Решение:

воспользуемся формулой разности квадратов

16 x^{2} - 9 = (4 {x)}^{2} - 3^{2} = (4x - 3) (4x + 3)

2. Разложить на множители:

27 a^{3} - 8 b^{3}

Решение:

воспользуемся формулой разности кубов

\begin{array}{l} 27 a^{3} - 8 b^{3} = {(3a)}^{3} - {(2 b)}^{3} = (3a - 2 b) ((3 {a)}^{2} + 3a \cdot 2 b + {(2 b)}^{2}) = \\ = (3a - 2 b) (9 a^{2} + 6ab + {4 b}^{2}) . \end{array}

3. Разложить на множители:

x^{12} + 27 y^{3}

.
Решение:
воспользуемся формулой суммы кубов

\begin{array}{l} x^{12} + 27 y^{3} = {(x^{4})}^{3} + (3 {y)}^{3} = (x^{4} + 3 y) \cdot ({(x^{4})}^{2} - x^{4} \cdot 3 y + {(3 y)}^{2}) = \\ = (x^{4} + 3 y) (x^{8} - 3 x^{4} y + 9 y^{2}) . \end{array}

4. Разложить на множители:

a^{4} + 2 a^{2} + 1

Решение:
воспользуемся формулой квадрата суммы

a^{4} + 2 a^{2} + 1 = {(a^{2})}^{2} + 1^{2} + 2 \cdot a^{2} \cdot 1 = {(a^{2} + 1)}^{2}

5. Разложить на множители:

g^{2} - 4 gp + 4 p^{2}

.
Решение:
воспользуемся формулой квадрата разности

g^{2} - 4 gp + 4 p^{2} = g^{2} + {(2 p)}^{2} - 2 \cdot g \cdot 2 p = {(g - 2 p)}^{2}