Использование различных приёмов для разложения многочлена на множители

Разложение на множители. Сочетание различных приёмов

1. Использование различных приёмов для разложения многочлена на множители

Теория

Разложить многочлен на множители можно, применяя последовательно несколько способов.

Удобно применять следующий порядок:
– если есть общий множитель, то вынести его за скобку;
– разложить многочлен на множители с помощью формул сокращённого умножения, если это возможно

(в многочлене два или три одночлена)

\begin{array}{l} a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b); \\ a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + {ab + b}^{2}); \\ a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - {ab + b}^{2}); \\ a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}; \\ a^{2} - 2 ab + b^{2} = {(a - b)}^{2}; \end{array}

– попробовать разложить на множители способом группировки.

Пример:

разложи многочлен на множители:

3 z^{5} t^{3} - 24 z^{3} t^{4} + 48 z t^{5}

Решение:

коэффициенты \(3\), \(24\) и \(48\) делятся на \(3\);

z^{5}, z^{3}

и \(z\) делятся на \(z\);

t^{3}, t^{4}

t^{5}

делятся на

t^{3}

Поэтому за скобки можно вынести

3 z t^{3}

3 z^{5} t^{3} - 24 z^{3} t^{4} + 48 z t^{5} = 3 z t^{3} (z^{4} - 8 z^{2} t + 16 t^{2}) = 3 z t^{3} {(z^{2} - 4 t)}^{2} .

В скобках использовали формулу сокращённого умножения (квадрат разности).

Применили два способа:
– вынесение общего множители за скобки;
– использование формулы сокращённого умножения — квадрат разности.

Пример:

задание. Разложи многочлен на множители:

c^{2} - a^{2} - 2 ab - b^{2}

Решение.

\begin{array}{l} c^{2} - a^{2} - 2 ab - b^{2} = c^{2} - (a^{2} + 2 ab + b^{2}) = c^{2} - {(a + b)}^{2} = \\ = (c - (a + b)) (c + (a + b)) = (c - a - b) (c + a + b) . \end{array}

Применили два способа:
– способ группировки;
– использование формул сокращённого умножения — квадрат суммы и разность квадратов.

Пример:

задание. Разложи многочлен на множители:

a^{3} - {5a}^{2} + 10 a - 8

Решение.

\begin{array}{l} a^{3} - {5a}^{2} + 10 a - 8 = (a^{3} - 8) + (- 5 a^{2} + 10 a) = \\ = (a^{3} - 8) + (- 5 a^{2} + 10 a) = (a^{3} - 2^{3}) + (- 5 a^{2} + 10 a) = \\ = \underset{⏟}{(a - 2)} (a^{2} + 2 a + 4) - 5 a \underset{⏟}{(a - 2)} = \underset{⏟}{(a - 2)} ((a^{2} + 2 a + 4) - 5 a) = \\ = (a - 2) (a^{2} + 2 a + 4 - 5 a) = (a - 2) (a^{2} - 3 a + 4) . \end{array}

Применили три способа:
– способ группировки;
– вынесение общего множителя за скобки;

– использование формул сокращённого умножения — разность кубов.

Вернуться в тему

Следующая теория