Разложение на множители. Способ группировки
1. Разложение на множители способом группировки
Теория
Способ группировки применяют в случае, когда многочлены не имеют общего множителя для всех членов многочлена.
 
Такой способ используется, если многочлен представлен в виде групп слагаемых, которые имеют общий множитель.
 
Обрати внимание!
Разложить на множители способом группировки можно в три этапа:
1) объединяем слагаемые многочлена в группы (обычно по два, реже по три и т. д.), которые содержат общий множитель;
2) выносим общий множитель за скобки;
3) полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который снова выносим за скобки.
Объединить члены многочлена в группы можно несколькими способами. Однако не каждая группировка получается удобной для последующего разложения на множители. В таком случае следует попробовать объединить в группы другие члены многочлена.
 
Рассмотрим примеры.
Пример:
разложить на множители: \(np\) \(– kp + nd\) \(– kd\).

Решение
  
 \(1\) способ \(2\) способ
\(np\) \(– kp + nd\) \(– kd = (np\) \(– kp) + (nd\) \(– kd)\);

выносим из первой скобки общий множитель \(p\), из второй — общий множитель \(d\):

\(p(n\) \(– k) + d(n\) \(– k)\);

общий множитель — \(n\) \(– k\). Вынесем его за скобки.

\((n\) \(– k) (p+d)\)
\(np\) \(– kp + nd\) \(– kd = (np + nd)\) \(– (kp + kd)\);

выносим из первой скобки общий множитель \(n\), из второй — общий множитель \(k\):

\(n(p + d)\) \(– k(p + d)\);

общий множитель — \(p + d\). Вынесем его за скобки.

\((p + d)(n\) \(– k)\)
Пример:
разложить на множители: \(a(p-2s)+d(p-2s)\).
 
Решение:

общий множитель \(p\) \(– 2s\) вынесем  за скобки: \((p\) \(– 2s)(a + d)\).
Пример:
разложить на множители выражение: \(7b-11z(b-y)-7y\).
 
Решение:
 
\(7b-11z(b-y)-7y=7b-7y-11z(b-y)=7(b-y)-11z(b-y)=(b-y)(7-11z)\).
Пример:
разложить на множители многочлен: 5a3c+10a2−6bc−3abc2.
 
Решение:
 
выполним группировку слагаемых:
 
5a3c+10a2−6bc−3abc2=(5a3c+10a2)+(−6bc−3abc2).
 
Из первой скобки выносим общий множитель 5a2, из второй — \(-3bc\):
 
(5a3c+10a2)+(−6bc−3abc2)=5a2(ac+2)−3bc(2+ac).
 
Общий множитель \((2 +ac)\) выносим за скобку:
 
5a2(ac+2)−3bc(2+ac)=(2+ac)(5a2−3bc).
 
Ответ: (2+ac)(5a2−3bc).
Пример:
представить в виде произведения многочлен: x2y+xy2+x+y+2xy+2.
 
Решение:

многочлен состоит из шести слагаемых, поэтому, группируем их попарно и выносим общий множитель за скобку в каждой паре.

x2y+xy2+x+y+2xy+2=(x2y+x)+(xy2+y)+(2xy+2)=x⋅(xy+1)¯+y⋅(xy+1)¯+2⋅(xy+1)¯.
 
Имеем три слагаемых с общим множителем \(xy+1\). На основе распределительного закона умножения выносим за скобку \(xy+1\):
 
x⋅(xy+1)¯+y⋅(xy+1)¯+2⋅(xy+1)¯=(xy+1)⋅x+y+2.
Вернуться в тему
Следующее задание
Copyright © 2026 ООО ЯКласс Контакты Рекомендательные технологии Пользовательское соглашение Политика обработки персональных данных Деятельность в области информационных технологий