Умножение степеней с одинаковыми основаниями

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Теория

Рассмотрим пример умножения степеней с одинаковыми основаниями.

\begin{array}{l} a^{5} \cdot a^{3} = \underset{⏟}{a \cdot a \cdot ... \cdot a} \cdot \underset{⏟}{a \cdot a \cdot a} = \underset{⏟}{a \cdot a \cdot ... \cdot a} = a^{8} \\ 5 раз 3 раза 8 раз \end{array}

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются,

а основание остаётся без изменений.

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

(где \(a\) — любое число, \(n\) и \(m\) — натуральные числа).

Обрати внимание!

Нельзя заменять сумму

a^{6} + a^{10}

на

a^{16}

Формула применяется как слева направо, так и справа налево.

Пример:

вычислить.

5^{3} \cdot 5

.
Решение:

5^{3} \cdot 5 = 5^{3} \cdot 5^{1} = 5^{3 + 1} = 5^{4} = 625

3^{4} \cdot 3^{2}

.
Решение:

3^{4} \cdot 3^{2} = 3^{4 + 2} = 3^{6} = 729

Пример:

упростить выражение:

t^{12} t t^{4}

.
Решение:

t^{12} t t^{4} = t^{12} \cdot t^{1} \cdot t^{4} = t^{12 + 1 + 4} = t^{17}

Пример:

представить в виде произведения:

2^{7}

.
Решение.

Показатель степени \(7\) можно представить в виде суммы несколькими способами.

\begin{array}{l} 2^{7} = 2^{5 + 2} = 2^{5} \cdot 2^{2}; \\ 2^{7} = 2^{6 + 1} = 2^{6} \cdot 2^{1} = 2^{6} \cdot 2 . \end{array}