Основные свойства степени с натуральным показателем

4. Основные свойства степени с натуральным показателем

Теория

\begin{array}{l} a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}; \\ a^{n} : a^{m} = a^{n - m}, n > m, a \neq 0; \\ {(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m} \end{array}

(где \(n\) и \(m\) — натуральные числа).

На практике часто применяются одновременно несколько свойств.

Рассмотрим пример.

Пример:

вычислить.

\frac{{(5^{4} \cdot 5)}^{3}}{5^{7} \cdot 5^{6}}

.
Решение.

Выполним действия в числителе:

5^{4} \cdot 5 = 5^{4} \cdot 5^{1} = 5^{4 + 1} = 5^{5}

— применили свойство

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

{(5^{5})}^{3} = 5^{5 \cdot 3} = 5^{15}

— применили свойство

{(a^{n})}^{m} = a^{n \cdot m}

Выполним умножение в знаменателе:

5^{7} \cdot 5^{6} = 5^{7 + 6} = 5^{13}

— применили свойство

a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m}

Заменим черту дроби делением:

5^{15} : 5^{13} = 5^{15 - 13} = 5^{2}

— применили свойство

a^{n} : a^{m} = a^{n - m}

5^{2} = 25

Ответ: \(25\).