Понятие степени с натуральным показателем

1. Понятие степени с натуральным показателем

Теория

Существует короткая запись для умножения одинаковых чисел, например:

\begin{array}{l} \underset{⏟}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = 5^{7} \\ 7 раз \end{array}

Произведение \(n\) одинаковых множителей, равных \(a\), обозначают

a^{n}

, где \(n = 2, 3, 4, 5...\)

Выражение

a^{n}

— степень, число \(a\) — основание степени,
число \(n\) — показатель степени.

Если показатель \(n\) — натуральное число, то его называют натуральным показателем.

Обрати внимание!

\begin{array}{l} \underset{⏟}{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a} = a^{n} \\ n раз \end{array}

a^{n}

— степень с натуральным показателем;

\(a\) — основание степени;

\(n\) — показатель степени.

Выражение

a^{n}

можно прочитать: «\(a\) в \(n\)-й степени» или «\(a\) в степени \(n\)».

a^{2}

можно прочитать: «\(a\) в квадрате» или «\(a\) во второй степени».

a^{3}

можно прочитать: «\(a\) в кубе» или «\(a\) в третьей степени».

Пример:

запиши в виде степени выражение

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

и примени новые термины.
Решение.
Произведение пяти одинаковых чисел, равных \(3\), запишем сокращённо:

3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^{5}

;

3^{5}

— степень;

\(3\) — основание степени;

\(5\) — показатель степени.

Пример:

вычислить:

{(- 3)}^{4}

.
Решение.

{(- 3)}^{4} = (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) \cdot (- 3) = 81

;

б)

{(\frac{4}{11})}^{2}

.
Решение.

{(\frac{4}{11})}^{2} = \frac{4}{11} \cdot \frac{4}{11} = \frac{4 \cdot 4}{11 \cdot 11} = \frac{16}{121}

;

в)

\begin{array}{l} 1^{20} = \underset{⏟}{1 \cdot 1 \cdot .... \cdot 1} = 1; \\ 20 раз \\ 0^{9} = \underset{⏟}{0 \cdot 0 \cdot .... \cdot 0} = 0 . \\ 9 раз \end{array}

Степенью числа \(a\) с показателем \(1\) называют само это число:

a^{1} = a

\begin{array}{l} 0^{1} = 0; \\ {(- 25)}^{1} = - 25; \\ {(\frac{1}{17})}^{1} = \frac{1}{17} . \end{array}

Обрати внимание!

Не равное нулю число в степени \(0\) равно единице:

a^{0} = 1