Деление степеней с одинаковыми показателями

2. Деление степеней с одинаковыми показателями

Теория

Рассмотрим деление степеней

a^{5} : b^{5}

с одинаковыми показателями, равными \(5\).

Представим степени чисел \(a\) и \(b\) в виде произведения \(5\) множителей.

\begin{array}{l} 5 множ . \\ \frac{a^{5}}{b^{5}} = \frac{\overset{⏞}{(a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a)}}{\underset{⏟}{(b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b)}} = \underset{⏟}{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b}} = {(\frac{a}{b})}^{5} \\ 5 множ . 5 множителей \end{array}

При делении степеней с одинаковыми показателями, необходимо разделить первое основание на второе, при этом показатель степени останется прежним.

{\frac{a^{n}}{b^{n}} = (\frac{a}{b})}^{n}

, если \(a\) — любое число,

b \neq 0

и \(n\) — натуральное число.

Обрати внимание!

Число в знаменателе не должно быть равно нулю, т. к. черту дроби можно заменить делением, а на ноль делить нельзя!

Формула применяется как слева направо, так и справа налево.

Пример:

1) вычислить:

\frac{50^{2}}{10^{2}}

.
Решение.

\frac{50^{2}}{10^{2}} = {(\frac{50}{10})}^{2} = 5^{2} = 25

2) Представить в виде степени:

k^{12} : t^{12}

Решение.

k^{12} : t^{12} = \frac{k^{12}}{t^{12}} = {(\frac{k}{t})}^{12}

3) Преобразовать выражение:

{(\frac{- 2}{u^{3}})}^{4}

Решение.

{(\frac{- 2}{u^{3}})}^{4} = \frac{{(- 2)}^{4}}{{(u^{3})}^{4}} = \frac{16}{u^{3 \cdot 4}} = \frac{16}{u^{12}}