Сложение алгебраических дробей с разными знаменателями-многочленами

Как складывать и вычитать алгебраические дроби с разными знаменателями

2. Сложение алгебраических дробей с разными знаменателями-многочленами

Теория

Чтобы сложить или вычесть дроби, знаменателями которых являются различные многочлены, необходимо:

найти общий знаменатель;
привести дроби к общему знаменателю;
выполнить указанные действия;
если возможно, упростить результат.

Если знаменателями дробей являются многочлены, то общим знаменателем этих дробей тоже будет многочлен, который находим следующим образом:

знаменатели всех дробей раскладываются на множители (если это необходимо и возможно);
из одного знаменателя берутся все множители, из остальных — только те, которых нет в первом знаменателе (т. е. которых «не хватает»).

Если многочлены в знаменателях дробей невозможно разложить на множители, то общий знаменатель таких дробей равен произведению знаменателей всех дробей.

Чтобы безошибочно определить дополнительный множитель для каждой дроби, полученный общий знаменатель лучше сразу записать в знаменателе «новой» дроби.

\frac{1}{y} + \frac{1}{y + 3} = \frac{1^{\ y + 3}}{y} + \frac{1^{\ y}}{y + 3} = \frac{y + 3 + y}{y (y + 3)} = \frac{2 y + 3}{\underline{\underline{y (y + 3)}}}

;

\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{1^{\ x - 2}}{x - 2} - \frac{1}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{x - 2 - 1}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{x - 3}{\underline{\underline{{(x - 2)}^{2}}}}

;

\frac{1}{b^{2} - 3 b} + \frac{2}{5 b - 15} = \frac{1^{\ 5}}{b (b - 3)} + \frac{2^{\ b}}{5 (b - 3)} = \frac{5 + 2 b}{\underline{\underline{5 b (b - 3)}}}

Пример:

сложи дроби

\frac{x - 1}{x^{2} - xy} + \frac{1 - y}{xy - y^{2}}

Решение:

1) знаменатели дробей раскладываем на множители:

\frac{x - 1}{x^{2} - xy} + \frac{1 - y}{xy - y^{2}} = \frac{x - 1}{x (x - y)} + \frac{1 - y}{y (x - y)}

2) Находим общий знаменатель:

у знаменателя первой дроби \(x (x - y)\), по сравнению со знаменателем второй дроби, не хватает множителя \(y\); поэтому общим знаменателем этих дробей является

x (x - y) \cdot y = xy (x - y)

3) Приводим дроби к общему знаменателю, складываем их и упрощаем результат:

\frac{x - 1}{x (x - y)} + \frac{1 - y}{y (x - y)} = \frac{{x - 1}^{\ y}}{x (x - y)} + \frac{{1 - y}^{\ x}}{y (x - y)} = \frac{xy - y + x - yx}{xy (x - y)} =

= \frac{xy - y + x - yx}{xy (x - y)} = \frac{x - y}{xy (x - y)} = \frac{x - y}{xy (x - y)} = \frac{1}{\underline{\underline{xy}}}

Общий знаменатель равен знаменателю дроби, умноженному на дополнительный множитель.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание