Дробные выражения — урок. Алгебра, 8 класс.

2. Дробные выражения

Теория

Выражения, в которых есть только сложение, вычитание, умножение переменных или возведение их в степень, называются целыми рациональными алгебраическими выражениями.

Пример:

\(2,6x + 5y\) \(-\)

\frac{z^{2}}{3}

\(+ 3\).
Заметим, что

\frac{z^{2}}{3}

не является дробным рациональным выражением, т. к. в знаменателе нет переменной.

Выражения, в которых имеется также деление переменных, называются дробными рациональными алгебраическими выражениями.

Пример:

\frac{2}{x}; \frac{4 - y}{z + 3}; \frac{a^{3}}{c}; \frac{x}{x - 5} + \frac{x^{2}}{4 + x}

— дробные рациональные выражения.

Дробные рациональные выражения имеют область определения со всеми значениями переменных, которые не превращают знаменатель в \(0\) (т. к. на \(0\) делить нельзя).

Область определения — это множество, состоящее из всех допустимых значений аргумента.

Есть задачи на нахождение области определения, но при решении дробных рациональных уравнений нужно также обязательно находить область определения.

Пример:

1. Найди область определения выражения

\frac{x}{2 - x}

Решение:

2 - x \neq 0; - x \neq - 2; x \neq 2

, значит, при \(x = 2\) выражение не имеет смысла.

Ответ: область определения выражения:

x \in (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)

2. Реши уравнение

\frac{x^{2} + 1}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1}

Решение:

\begin{array}{l} \frac{x^{2} + 1}{x - 1} = \frac{2 x}{x - 1}; \\ x^{2} + 1 = 2 x; \\ x^{2} - 2 x + 1 = 0; \\ {(x - 1)}^{2} = 0; \\ x_{1} = x_{2} = 1 . \end{array}

Полученные корни не принадлежат области определения уравнения.

Ответ: нет корней.

Равные знаменатели отбрасываются, находим область определения уравнения:

\begin{array}{l} x - 1 \neq 0; \\ x \neq 1 . \end{array}

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание