Выражения — урок. Алгебра, 8 класс.

Числовые выражения содержат числа, знаки действий и скобки.

При выполнении действий числового выражения по порядку, можно найти число, называемое значением выражения.

Обрати внимание!

Выражение не имеет значения, если содержит деление на ноль.

У выражения

{(- 3)}^{2} + 5 \cdot 0,2

значение равно \(10\).
У выражения

\frac{7 - {(- 2)}^{5} + (6 \cdot 4)}{0}

нет значения.

Если числовое выражение содержит ещё и буквы (или только буквы), обозначающие числа или переменные, то оно называется алгебраическим выражением.

Выражения алгебраические

{(- 3)}^{2} + 5 x; 3 a + 4 b; \frac{2 x - 6}{3}

Областью определения выражения с одной переменной называется множество значений переменной, при которых это выражение имеет смысл.

Можно вычислить числовое значение алгебраического выражения при любом значении переменной из его области определения.

Пример:

найди область определения данного алгебраического выражения

\frac{x - 3}{x (x + 8)}

Решение: алгебраическая дробь

\frac{x - 3}{x (x + 8)}

определена при всех значениях переменной \(x\), при которых знаменатель дроби \(x(x + 8)\) не равен \(0\). Поэтому, чтобы определить значения \(x\), которые не принадлежат области определения, необходимо знаменатель \(x(x + 8)\) приравнять к нулю, т. е. решить уравнение:

\(x(x + 8) = 0\).

Каждый множитель приравниваем к нулю:

\(x = 0\) и \(x + 8 = 0\);

\(x = - 8\).

Ответ: область определения алгебраической дроби — все действительные числа, кроме \(0\) и \(-8\).

Алгебраические выражения делятся на рациональные и иррациональные, но в данном случае рассматриваются только рациональные выражения.

Алгебраическое выражение, в котором есть сложение, умножение, деление и возведение в степень (натуральное число), называется рациональным алгебраическим выражением.

Если рациональное алгебраическое выражение не содержит операции деления на выражение с переменными, то оно называется целым.

Если при составлении рационального алгебраического выражения используется операция деления на выражение с переменными, то такое выражение называется дробным.

Целые выражения

4 - 2x; 7 y^{2} (y - 1); 3 xy - 0,3 x^{4}; \frac{6 y + 3}{3} .

Дробные выражения

\frac{y + 2}{y^{2} - 4 y + 4}; ab - \frac{7}{a + b}; \frac{x}{x - 1} + \frac{2}{x^{2} - 1} .

Целое рациональное выражение определено при любых значениях переменных.

Дробное рациональное выражение определено при таких значениях переменной, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

1) Целое выражение

3 y^{2} + 4 y + 2

определено при любых значениях переменной \(y\); область определения — все действительные числа.

2) Дробное выражение

x + \frac{12}{x - 8}

не имеет смысла, если \(x = 8\) (если \(x = 8\), то знаменатель \(x - 8 = 0\), а на ноль делить нельзя).

Поэтому область определения дробного выражения

x + \frac{12}{x - 8}

— все действительные числа, кроме \(8\).

Дробное рациональное выражение, числителем и знаменателем которого являются многочлены, называется алгебраической дробью.

Алгебраические дроби

\frac{x}{x - 3}; \frac{b - 1}{b + 6}; \frac{1 + x^{3}}{x^{2} + 1}; \frac{y + 2}{y^{2} - 6 y + 6} .

Обрати внимание!

Областью определения алгебраической дроби являются все значения переменной, при которых знаменатель дроби не равен \(0\).

Любое дробное рациональное выражение можно преобразовать в алгебраическую дробь.

Вернуться в тему

Следующая теория

1. Выражения

Теория: