Перемена знаков в числителе и знаменателе дроби

Применение основного свойства алгебраической дроби

2. Перемена знаков в числителе и знаменателе дроби

Теория

Если дано какое-либо рациональное выражение $A$, то, умножив его на $-1$, получаем

(- 1) \cdot A = - A

Два рациональных выражения $A$ и $-A$ называются взаимно противоположными рациональными выражениями, если их сумма равна $0$, то есть $A+(-A)=0$ .

Так же как и противоположные числа, противоположные выражения друг от друга отличаются только знаком.

Выражения $5$ и $-5$; $a+b$ и $-a-b$;

\frac{x}{y}

- \frac{x}{y}

;

m^{2} - m + 3

{- m}^{2} + m - 3

, это взаимно противоположные выражения, так как:

5 + (- 5) = 5 - 5 = 0

;

a + b + (- a - b) = a + b - a - b = 0

;

\frac{x}{y} + (- \frac{x}{y}) = \frac{x}{y} - \frac{x}{y} = 0

;

m^{2} - m + 3 + (- (m^{2} - m + 3)) = m^{2} - m + 3 {- m}^{2} + m - 3 = 0

Выражения

m^{2} - m + 3

{- m}^{2} + m - 3

— взаимно противоположные многочлены.

Выполняя действия с дробными рациональными выражениями, часто необходимо числитель и знаменатель какой-либо дроби заменить противоположным выражением.

Но чтобы значение дроби не изменилось, нужно соблюдать закон перемены знаков:

значение дроби не изменится, если изменить знаки на противоположные

у числителя и знаменателя дроби;
у числителя и у всей дроби;
у знаменателя и у всей дроби.

Если буквами $A$ и $B$ обозначим числитель и знаменатель рационального выражения, закон перемены знаков можно записать таким образом:

* \frac{A}{B} = \frac{- A}{- B}

;

* \frac{A}{B} = - \frac{- A}{B}

;

* \frac{A}{B} = - \frac{A}{- B}

Данный закон действует только тогда, когда

B \neq 0

1)	$\frac{- 2 x}{- 3 y} = \frac{2 x}{3 y}$	- изменены знаки в числителе и знаменателе
2)	$\frac{6}{n^{2} + 2} = - \frac{- 6}{n^{2} + 2}$	- изменён знак в числителе и перед дробью
3)	$- \frac{y + 7}{- y} = \frac{y + 7}{y}$	- изменён знак в знаменателе и перед дробью

В правильности каждого равенства можно убедиться, выбрав любое значение переменной из области определения дроби.

Преобразование

- \frac{m + 2}{- m} = \frac{m + 2}{m}

верно при всех значениях $m$, кроме $m=0$.

Проверим это, если $m=1$ и если $m=10$.

Если $m=1$, то

- \frac{1 + 2}{- 1} = \frac{1 + 2}{1}; - \frac{3}{- 1} = \frac{3}{1}; - (- 3) = 3; 3 = 3

Если $m=10$, то

- \frac{10 + 2}{- 10} = \frac{10 + 2}{10}; - \frac{12}{- 10} = \frac{12}{10}; - (- 1,2) = 1,2; 1,2 = 1,2

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория