Сокращение алгебраических дробей — урок. Алгебра, 8 класс.

Применение основного свойства алгебраической дроби

3. Сокращение алгебраических дробей

Теория

Для того чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то их можно сократить.

Приёмы разложения многочленов на множители:

- вынесение общего множителя за скобку;

- использование тождеств сокращённого умножения;

- способ группировки.

Пример:

$\frac{2 (m + 2)}{k (m + 2)} = \frac{2 {(m + 2)}^{1}}{k {(m + 2)}_{1}} = \frac{2}{k}$	— дробь сокращена на двучлен $(m + 2)$
$\frac{5 x - 5 y}{mx - my} = \frac{5 {(x - y)}^{1}}{m {(x - y)}_{1}} = \frac{5}{m}$	— числитель и знаменатель дроби разложены на множители, и дробь сокращена на общий множитель $(x - y)$
$\frac{3 a - 3 b}{b - a} = \frac{3 (a - b)}{- (- b + a)} = \frac{3 {(a - b)}^{1}}{- {(a - b)}_{1}} = \frac{3}{- 1} = - 3$	— числитель и знаменатель дроби разложены на множители, и дробь сокращена на $(a - b)$
$\frac{m^{2} + 2 mn + n^{2}}{2 m + 2 n} = \frac{{(m + n)}^{2}}{2 (m + n)} = \frac{{(m + n)}^{2}^{m + n}}{2 {(m + n)}_{1}} = \frac{m + n}{2}$	— числитель дроби разложен на множители при помощи формулы квадрата суммы, в знаменателе общий множитель вынесен за скобку; затем дробь сокращена на общий множитель $(m + n)$

Тождества сокращённого умножения, которые можно использовать при сокращении дробей

Разность квадратов

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Квадрат суммы

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Квадрат разности

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Сумма кубов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

Разность кубов

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Куб суммы

{(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 {ab}^{2} + b^{3}

Куб разности

{(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 {ab}^{2} - b^{3}

Пример:

сократи дробь

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4}

Решение:

1. числитель и знаменатель дроби раскладываем на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата разности:

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}}

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

2. Сокращаем дробь на общий множитель — двучлен $(x-2)$:

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 x + 4} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{{}^{1}{(x - 2)} (x + 2)}{{(x - 2)}^{2}_{x - 2}} = \frac{x + 2}{x - 2}

Преобразуй дробь

\frac{2}{x + 2}

таким образом, чтобы в знаменателе было

3 x^{2} - 12

Решение:

1. чтобы понять, как расширить дробь

\frac{2}{x + 2}

, выражение

3 x^{2} - 12

раскладываем на множители:

3 x^{2} - 12 = 3 (x^{2} - 4) = 3 (x - 2) (x + 2)

2. Сравниваем полученное выражение со знаменателем дроби $x+2$ и делаем вывод, что дополнительным множителем этой дроби является $3(x-2)$:

\frac{2}{x + 2} = \frac{2 \cdot 3 (x - 2)}{(x + 2) \cdot 3 (x - 2)} = \frac{6 (x - 2)}{3 (x^{2} - 4)} = \frac{6 (x - 2)}{3 x^{2} - 12}

Упрости выражение

\frac{2 x^{3} + 16}{6 x^{2} - 12 x + 24}

Решение:

1. в числителе за скобки выносим общий множитель $2$, а в знаменателе — общий множитель $6$:

\frac{2 x^{3} + 16}{6 x^{2} - 12 x + 24} = \frac{2 (x^{3} + 8)}{6 (x^{2} - 2x + 4)}

2. Выражение

x^{3} + 8

раскладываем на множители, используя формулу суммы кубов, затем дробь сокращаем.

\frac{2 (x^{3} + 8)}{6 (x^{2} - 2 x + 4)} = \frac{2 (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{6 (x^{2} - 2 x + 4)} = \frac{{}^{1}{2 \cdot} (x + 2) {(x^{2} - 2 x + 4)}^{1}}{{}_{3}6 {\cdot (x^{2} - 2 x + 4)}_{1}} = \frac{x + 2}{3}

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание