Решение дробных рациональных уравнений

1. Решение дробных рациональных уравнений

Теория

Среди рациональных уравнений

5 (t + 6) = 4 t - 7, \frac{4}{x} = 11, \frac{y - 1}{y + 2} = \frac{9y + 4}{y - 2}

5 (t + 6) = 4 t - 7

является целым уравнением,

\frac{4}{x} = 11, \frac{y - 1}{y + 2} = \frac{9y + 4}{y - 2}

— дробные рациональные уравнения.

Чтобы решить дробное рациональное уравнение, надо:

- перенести все слагаемые из правой части в левую (если необходимо), поменяв знаки на противоположные;
- привести дроби к общему знаменателю;
- заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

- найти корни целого уравнения;

- исключить корни, при которых общий знаменатель равен нулю.

Обрати внимание!

Дробь равна нулю при условиях, что её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Пример:

1) реши уравнение

\frac{5 u - 10}{17} = 0

.
Решение. Умножим левую и правую части уравнения на знаменатель:

\begin{array}{l} \frac{5 u - 10}{17} = 0 |\cdot 17 \\ \frac{5 u - 10}{17} \cdot 17 = 0 \cdot 17; \\ \frac{(5 u - 10) \cdot 17}{17} = 0; \\ 5 u - 10 = 0; \\ 5 u = 10; \\ u = 10 : 5; \\ u = 2 . \end{array}

Ответ: \(u=2\).

2) Реши уравнение

\frac{2 x + 7}{x - 8} = 0

.
Решение. Приравняем числитель к нулю,

а знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 x + 7 = 0 \\ x - 8 \neq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2 x = - 7 \\ x \neq 8 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = - 7 : 2 \\ x \neq 8 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = - 3,5 \\ x \neq 8 \end{cases} \end{array}

Поскольку при \(x = -3,5\) знаменатель не равен нулю, то это значение является корнем уравнения.
Ответ: \(x = -3,5\).

Вернуться в тему

Следующее задание