Упрощение рациональных выражений
2. Доказательство рациональных выражений
Теория
 Доказать тождество — это значит показать, что его обе части равны, т. е. его левая часть тождественно равна правой части для любых допустимых значений переменных.
Способы доказательства тождеств:
 
1. преобразовать выражение в левой части и получить выражение в правой части;
2. преобразовать выражение в правой части и получить выражение в левой части;
3. преобразовать выражение в левой части, отдельно преобразовать выражение в правой части и получить одинаковые выражения;
4. преобразовать разность левой и правой частей и показать, что она равна нулю.
От вида тождества зависит, какой способ целесообразнее выбрать.
Пример:
доказать тождество a+b2a−b−a−b2a+b=ba−b−b2−aba2−b2.
Решение.  Здесь лучше использовать третий способ.
 
Преобразуем выражение в левой части:
a+ba+b2a−b−a−ba−b2a+b=a+b2−a−b22a−ba+b=a2+2ab+b2−a2−2ab+b22a−ba+b==a2+2ab+b2−a2+2ab−b22a−ba+b=4ab2a2−b2=4⋅a⋅b2⋅a2−b2=2aba2−b2.
 
Преобразуем выражение в правой части:
ba−b−b2−aba2−b2=ba+ba−b−b2−aba−ba+b=ba+ba−ba+b−b2−aba−ba+b==ba+b−b2−aba−ba+b=ab+b2−b2+aba−ba+b=2aba2−b2.
 
Получили одинаковые выражения в левой и правой частях:
 
2aba2−b2=2aba2−b2.
 
Тождество доказано.
 
В доказательстве были применены формулы сокращённого умножения:
a2−b2=a−ba+b;a+b2=a2+2ab+b2;a−b2=a2−2ab+b2.
Обрати внимание!
Тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных
Предыдущая теория
Вернуться в тему
Следующее задание
Copyright © 2026 ООО ЯКласс Контакты Рекомендательные технологии Пользовательское соглашение Политика обработки персональных данных Деятельность в области информационных технологий