Квадратный корень из произведения — урок. Алгебра, 8 класс.

1. Квадратный корень из произведения

Теория

Если

a \geq 0

b \geq 0

, то

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

\begin{array}{l} \sqrt{64 \cdot 81} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{81} = 8 \cdot 9 = 72; \\ \sqrt{64 \cdot 81} = \sqrt{5184} = ... можно ли вычислить устно ? \end{array}

Иногда удобнее использовать это правило таким образом:

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}

;

\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8

Очевидно, что из числа \(2\) и из числа \(32\) нельзя извлечь корень, а из их произведения — можно.

Бывают ситуации, когда в подкоренном числе имеются множители, из которых можно извлечь корень, и множители, из которых корень не извлекается. В таком случае выражение упрощается с помощью вынесения множителя из-под знака квадратного корня.

Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, необходимо:

- подкоренное число разложить на множители таким образом, чтобы хотя бы из одного множителя можно было бы извлечь квадратный корень (\(4\); \(9\); \(16\); \(25\) и т. д.);

- квадратный корень из произведения записать как произведение квадратных корней;

- извлечь корень из тех множителей, из которых он извлекается;

- полученные множители перемножить.

\sqrt{300} = \sqrt{3 \cdot 100} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{100} = \sqrt{3} \cdot 10 = 10 \sqrt{3}

Если сложно сразу вынести наибольший множитель, то подкоренное число раскладывается на множители постепенно.

Пример:

\begin{array}{l} \sqrt{180} = \sqrt{18 \cdot 10} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 5} = \\ = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2 \cdot 2} \cdot \sqrt{5} = 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} = 6 \sqrt{5} . \end{array}

Из-под знака корня выносится наибольший возможный множитель.

Пример:

\begin{array}{l} \sqrt{800} = \sqrt{8 \cdot 100} = 10 \sqrt{8}; \\ данный ответ неправильный, т . к . \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2 \sqrt{2}; \\ \sqrt{800} = \sqrt{8 \cdot 100} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot 100} = 2 \cdot 10 \sqrt{2} = \underline{\underline{20 \sqrt{2}}} . \end{array}

Вернуться в тему

Следующая теория