Выражения с квадратными корнями — урок. Алгебра, 8 класс.

2. Выражения с квадратными корнями

Теория

Выражения, записанные в форме

a \sqrt{b}

, где

b \geq 0

, называются подобными, если их подкоренные выражения равны.

Выражения

3 \sqrt{5}, 13 \sqrt{5}, \sqrt{5}, - 2 \sqrt{5}

подобны.
Выражения

2 \sqrt{3}

2 \sqrt{5}

не подобны.

Подобные выражения можно складывать и вычитать. Действия производят с коэффициентами, стоящими перед знаками квадратных корней.

Пример:

упрости выражение:

5 \sqrt{7} - 11 \sqrt{7} = (5 - 11) \sqrt{7} = - 6 \sqrt{7}

Обрати внимание!

Корни, подкоренные выражения которых не равны, также могут быть подобными. Чтобы в этом убедиться, необходимо вынести множители из-под знаков корней.

Пример:

упрости выражение:

\begin{array}{l} \sqrt{125} + 2 \sqrt{80} = \sqrt{25 \cdot 5} + 2 \sqrt{16 \cdot 5} = 5 \sqrt{5} + 2 \cdot 4 \sqrt{5} = \\ = 5 \sqrt{5} + 8 \sqrt{5} = (5 + 8) \sqrt{5} = 13 \sqrt{5} . \end{array}

При упрощении выражений с корнями важно помнить, что:

\begin{array}{l} \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}; \\ если a \geq 0, \sqrt{a \cdot a} = a и {(\sqrt{a})}^{2} = a . \end{array}

Пример:

упрости выражение:

{(\sqrt{2} - \sqrt{5})}^{2}

.

Используем формулу

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

{(\sqrt{2} - \sqrt{5})}^{2} = {\sqrt{2}}^{2} - 2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{5} + {\sqrt{5}}^{2} = \underline{\underline{2}} - 2 \sqrt{10} + \underline{\underline{5}} = 7 - 2 \sqrt{10}