Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

1. Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня

Теория

Для преобразования выражений квадратными корнями используют свойства:

\begin{array}{l} {(\sqrt{a})}^{2} = a; \\ \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}; \\ \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}; \\ \sqrt{a^{2 n}} = a^{n}, \end{array}

где \(a, b\) — неотрицательные числа.

Применяя эти формулы, можно преобразовывать различные выражения, содержащие операцию извлечения квадратного корня. Продемонстрируем на примерах, в которых переменные принимают только неотрицательные значения.

Пример:

1. Упрости выражение

\sqrt{a^{12} b^{4}}

\sqrt{a^{12} b^{4}} = \sqrt{a^{12}} \cdot \sqrt{b^{4}} = a^{6} b^{2}

2. Упрости выражение

\sqrt{\frac{25 a^{4}}{9 b^{6}}}

\sqrt{\frac{25 a^{4}}{9 b^{6}}} = \frac{\sqrt{25 a^{4}}}{\sqrt{9 b^{6}}} = \frac{5 a^{2}}{3 b^{3}}

3. Вынеси множитель из-под знака квадратного корня:

\sqrt{36a} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a} = 6 \sqrt{a}

;

\sqrt{8 a^{2}} = \sqrt{4 \cdot a^{2} \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{2} = 2a \sqrt{2}

4. Внеси множитель под знак квадратного корня:

4 \sqrt{2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{32}

5. Выполни действия:

(\sqrt{с} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{с} - \sqrt{b})

Пусть

\sqrt{с} = x, \sqrt{b} = y

. Тогда

(\sqrt{с} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{с} - \sqrt{b}) = (x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}

Но

x^{2} = с; y^{2} = b

, значит,

(\sqrt{с} + \sqrt{b}) \cdot (\sqrt{с} - \sqrt{b}) = с - b

6. Избавься от иррациональности в знаменателе, т. е. преобразуй алгебраическое выражение так, чтобы в знаменателе дроби не было выражений, содержащих квадратные корни:

\frac{1}{\sqrt{5}}

Используем основное свойство дроби. Умножаем числитель и знаменатель дроби на

\sqrt{5}

\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{{(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{5}

Иррациональность в знаменателе — термин, обозначающий, что в знаменателе некоторой алгебраической дроби имеется выражение под знаком корня. А освободиться от иррациональности в знаменателе — значит преобразовать алгебраическое выражение к виду, где нет выражений, находящихся под знаком корня.

Вернуться в тему

Следующее задание