Теорема Виета — урок. Алгебра, 8 класс.

1. Теорема Виета

Теория

С помощью этой теоремы решаются квадратные уравнения.

Обычно теорема Виета используется для решения приведённых квадратных уравнений, т. е. если коэффициент \(a = 1\).

x^{2} + px + q = 0, тогда \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = q \\ x_{1} + x_{2} = - p \end{cases}

Пример:

реши уравнение:

x^{2} - 14x + 40 = 0, \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = 40 \\ x_{1} + x_{2} = 14 \end{cases} x_{1} = 10, x_{2} = 4

Для полного квадратного уравнения, в котором \(a\)

\neq

\(1\), тоже применима теорема Виета.

\begin{array}{l} a x^{2} + bx + c = 0 | : a \\ \frac{a}{a} x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0; \\ \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} \\ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, где x_{1} и x_{2} - корни . \end{cases} \end{array}

Пример:

найди корни уравнения с помощью теоремы Виета.

\begin{array}{l} 12 x^{2} + x - 1 = 0; \\ \frac{12}{12} x^{2} + \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{12} x - \frac{1}{12} = 0; \\ \{\begin{cases} x_{1} \cdot x_{2} = - \frac{1}{12} \\ x_{1} + x_{2} = - \frac{1}{12} \end{cases} x_{1} = - \frac{1}{3}; x_{2} = \frac{1}{4} . \end{array}

Если с помощью теоремы Виета трудно найти корни, то их можно найти другими способами, а с помощью теоремы Виета проверить, правильно ли они найдены.

\begin{array}{l} 2 x^{2} + 0,8 x - 0,1 = 0; \\ D = b^{2} - 4 ac = {0,8}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 0,1) = 1,44; \\ x_{1} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 0,8 + 1,2}{2 \cdot 2} = 0,1; \\ x_{2} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- 0,8 - 1,2}{2 \cdot 2} = - 0,5 \end{array}

Проверка:

\begin{array}{l} 2 x^{2} + 0,8 x - 0,1 = 0 | : 2 \\ x^{2} + 0,4 x - 0,05 = 0; \\ \{\begin{cases} 0,1 \cdot (- 0,5) = - 0,05 \\ 0,1 - 0,5 = - 0,4 \end{cases} \end{array}

Если полная проверка корней затруднительна, нужно проверить хотя бы правильность знаков корней. В данном примере видно, что у корней должны быть разные знаки, т. к. \(c<0\).

С помощью теоремы Виета можно составить квадратное уравнение, если известны его корни.

Пример:

какому квадратному уравнению принадлежат корни \(2\) и \(-0,3\)?

\begin{array}{l} x^{2} + px + q = 0; \\ 2 + (- 0, 3) = 1,7 = - p, поэтому p = - 1,7; \\ 2 \cdot (- 0,3) = - 0,6 = q; \\ x^{2} - 1,7 x - 0,6 = 0 . \end{array}

* Франсуа Виет (\(1540\)–\(1603\)) — французский математик. По образованию юрист.

Вернуться в тему

Следующая теория