Разложение квадратного трёхчлена на множители

2. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Теория

Теорема Виета не только указывает на связь корней и коэффициентов квадратного уравнения.

Наиболее значимым является то, что с её помощью синтезируют формулу разложения квадратного трёхчлена на множители. Эта формула в дальнейшем нам очень пригодится.

Если

x_{1}

x_{2}

— корни квадратного трёхчлена

a x^{2} + bx + c

, то справедливо равенство

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Доказательство.

Имеем

a x^{2} + bx + c = a \cdot (x^{2} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a})

По теореме Виета

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Значит,

\begin{array}{l} a \cdot (x^{2} + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a}) = a (x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}) = a (x^{2} - x_{1} x - x_{2} x + x_{1} x_{2}) = \\ = a (x (x - x_{1}) - x_{2} (x - x_{1})) = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) . \end{array}

Если квадратный трёхчлен имеет корни, то его можно разложить на линейные множители. И наоборот, если разложение существует, то у квадратного трёхчлена есть корни.

Если

x_{1} = x_{2}

, то равенство имеет вид

a x^{2} + bx + c = a {(x - x_{1})}^{2}

При отсутствии корней квадратного трёхчлена, разложение его на линейные множители невозможно.

Если числа

x_{1}

x_{2}

таковы, что

x_{1} + x_{2} = - p; x_{1} \cdot x_{2} = q

, то эти числа — корни уравнения

x^{2} + px + q = 0

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание