2.
Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной
Теория
Мы неоднократно решали уравнения с помощью метода введения новой переменной (метода замены). Ниже продемонстрируем особенности использования этого метода при решении рациональных уравнений.
Пример:
Реши уравнение .
Введём новую переменную . Так как , то заданное уравнение можно переписать в виде .
Это квадратное уравнение. Находим корни данного уравнения:
Выполним обратную замену , получим квадратные уравнения:
Первое уравнение имеет два корня , второе — не имеет решений.
Ответ: .
Решённое уравнение называется биквадратным.
Биквадратное уравнение — уравнение вида .
Биквадратное уравнение с другими коэффициентами решается аналогично: делают замену переменной , находят корни квадратного уравнения относительно \(y\), а затем выполняют обратную замену и решают полученные уравнения относительно \(x\).
В рассмотренном примере продемонстрировано рациональное применение метода введения новой переменной при решении биквадратных уравнений.
Этому свидетельствует следующее: одинаковые выражения, которые не раз встречались в записи уравнения, удобно обозначить новой переменной. Однако бывает, что новая переменная «всплывает» в результате преобразований. Рассмотрим такой пример.
Пример:
Реши уравнение .
Перемножим первый и четвёртый множители, второй и третий множители:
Перепишем заданное уравнение в виде .
Введём новую переменную: .
Получим уравнение в виде:
Корнями этого уравнения служат числа \(-1\) и \(-2\).
Возвращаясь к исходной переменной \(x\), получаем два уравнения:
Из первого уравнения находим ; из второго уравнения находим .
Ответ: , .