1.
Рациональные уравнения
Теория
Рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое состоит из чисел и переменной \(x\), а также операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.
Если \(r(x)\) — рациональное выражение, то уравнение \(r(x) = 0\) называют рациональным уравнением.
Ранее мы могли решить только рациональное уравнение, которое путём различных преобразований и рассуждений приводится к линейному виду.
Сейчас мы умеем больше: можем решить рациональное уравнение, сводящееся и к линейному, и к квадратному уравнению.
Еще раз покажем, как мы решали рациональные уравнения ранее, и сформулируем ход решения.
Пример:
решить уравнение .
Перенесём все слагаемые в левую часть .
Для этого пользуемся равенствами \(F = G\) и \(F - G = 0\), которые выражают одну и ту же зависимость между \(F\) и \(G\). На основании этого правила мы перенесли член в левую часть уравнения, изменив при этом его знак.
Преобразуем левую часть уравнения:
Получили: .
Напомним, когда дробь равна нулю: — тогда, и только тогда, когда сразу удовлетворены два условия:
1. числитель дроби равен нулю \((а = 0)\);
2. знаменатель дроби отличен от нуля: .
Приравниваем к нулю числитель дроби в левой части уравнения, получим:
Выполним проверку второго указанного выше условия. Соотношение означает для уравнения, что . Корни являются решениями уравнения, т. к. удовлетворяют поставленному условию.
Ответ: \(1; -3\).
В ситуации, когда среди корней числителя получается число, которое обращает в ноль знаменатель дроби, тогда это число не включают в ответ, оно является посторонним корнем.
Ход решения рационального уравнения
2. Преобразовываем левую часть уравнения к виду алгебраической дроби .
3. Решаем уравнение \(p(x)=0\).
4. Для каждого корня уравнения \(p(x)=0\) выполняем проверку: удовлетворяет ли он условию или нет. Если выполняет, тогда это корень заданного уравнения; если не выполняет, то это посторонний корень, в ответ его не включаем.